Quy tắc cộng đại số
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, ta sử dụng phương pháp cộng đại số , bao gồm hai bước sau đây :
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình của hệ phương trình đả cho để dược một phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ phương trình và giữ nguyên phương trình kia ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.
Điều kiện: $ x\ne 0 $ .
Ta có:
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{2}{x}+y=3 \\ \dfrac{1}{x}-2y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{4}{x}+2y=6 \\ \dfrac{1}{x}-2y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{5}{x}=10 \\ \dfrac{2}{x}+y=3 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{2}{x}+y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=\dfrac{1}{2} \\ y=-1 \end{array} \right.(TM) \end{array} $
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ (x;y)=\left( \dfrac{1}{2};-1 \right)\Rightarrow \dfrac{x}{y}=-\dfrac{1}{2} $
Ta có:
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+\dfrac{y}{2}=\dfrac{2x-3}{2} \\ \dfrac{x}{2}+3y=\dfrac{25-9y}{8} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+y=2x-3 \\ 4x+24y=25-9y \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=-3 \\ 4x+33y=25 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=31 \\ y=-3 \end{array} \right. \end{array} $
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \left( 31;-3 \right) $ . $ \Rightarrow x > 0;y < 0 $
$ \left\{ \begin{array}{l} 3x+y=3 \\ 2x-y=7 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x=10 \\ 3x+y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ 6+y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ y=-3 \end{array} \right. $ .
Vậy hệ có nghiệm là $ \left( 2;-3 \right) $ .
Theo đề bài ta có:
$ \left\{ \begin{array}{l} -2a-3b=5 \\ 4a+b=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -4a-6b=10 \\ 4a+b=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2a-3b=5 \\ -5b=15 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=-3 \end{array} \right.\Rightarrow a.b=-6 $
$ \left\{ \begin{array}{l} 4\text{x}+3y=13\text{ }\left( 1 \right) \\ 5\text{x}-3y=-31\text{ }\left( 2 \right) \end{array} \right. $
Lấy (1) + (2) ta được: $ 9x=-18\Leftrightarrow x=-2. $ Thay vào (1) suy ra $ 3y=21\Rightarrow y=7 $ .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $ \left( -2;7 \right) $
$ \left\{ \begin{array}{l} 7\text{x}+5y=19\text{ }\left( 1 \right) \\ 3\text{x}+5y=31\text{ }\left( 2 \right) \end{array} \right. $ . Lấy (1) – (2) ta được : $ 4x=-12\Leftrightarrow x=-3. $
Thay vào $ \left( 1 \right) $ ta được: $ 5y=40\Leftrightarrow y=8 $ . Vậy hệ có nghiệm $ \left( -3;8 \right) $ .
$ \left\{ \begin{array}{l} 7\text{x}-5y=3 \\ 3\text{x}+10y=62 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 14x-10y=6 \\ 3\text{x}+10y=62 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 17x=68 \\ 3\text{x}+10y=62 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4 \\ y=5 \end{array} \right. $ $ \Rightarrow a+b=9 $
Ta có
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ x\sqrt{2}+y\sqrt{6}=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ (\sqrt{6}+\sqrt{3})y=1 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ y=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \\ x\sqrt{2}-\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \\ x=1 \end{array} \right. \end{array} $
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $ (x;y)=\left( 1;\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \right) $
$ \Rightarrow x+3\sqrt{3}y=1+3\sqrt{2}-3=3\sqrt{2}-2 $
Ta có
$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5(x+2y)-3(x-y)=99 \\ x-3y=7x-4y-17 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5x+10y-3x+3y=99 \\ x-3y-7x+4y=-17 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+13y=99 \\ -6x+y=-17 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 6x+39y=297 \\ -6x+y=-17 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -6x+y=-17 \\ 40y=280 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=7 \\ x=4 \end{array} \right. \end{array} $
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \left( 4;7 \right) $