Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

4.1/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Lý thuyết về Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Quy tắc cộng đại số

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, ta sử dụng phương pháp cộng đại số , bao gồm hai bước sau đây :

Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình của hệ phương trình đả cho để dược một phương trình mới.

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ phương trình và giữ nguyên phương trình kia ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{2}{x}+y=3 \\ \dfrac{1}{x}-2y=4 \end{array} \right. $ ta được nghiệm $ \left( x;y \right) $ . Tính $ \dfrac{x}{y} $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện: $ x\ne 0 $ .

Ta có:

$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{2}{x}+y=3 \\ \dfrac{1}{x}-2y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{4}{x}+2y=6 \\ \dfrac{1}{x}-2y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{5}{x}=10 \\ \dfrac{2}{x}+y=3 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{2}{x}+y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=\dfrac{1}{2} \\ y=-1 \end{array} \right.(TM) \end{array} $

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ (x;y)=\left( \dfrac{1}{2};-1 \right)\Rightarrow \dfrac{x}{y}=-\dfrac{1}{2} $

Câu 2: Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm $ \left( x;y \right) $ của hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+\dfrac{y}{2}=\dfrac{2x-3}{2} \\ \dfrac{x}{2}+3y=\dfrac{25-9y}{8} \end{array} \right. $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có:

$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+\dfrac{y}{2}=\dfrac{2x-3}{2} \\ \dfrac{x}{2}+3y=\dfrac{25-9y}{8} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+y=2x-3 \\ 4x+24y=25-9y \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=-3 \\ 4x+33y=25 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=31 \\ y=-3 \end{array} \right. \end{array} $

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \left( 31;-3 \right) $ . $ \Rightarrow x > 0;y < 0 $

Câu 3: Hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} 3x+y=3 \\ 2x-y=7 \end{array} \right. $ có nghiệm là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x+y=3 \\ 2x-y=7 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x=10 \\ 3x+y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ 6+y=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=2 \\ y=-3 \end{array} \right. $ .

Vậy hệ có nghiệm là $ \left( 2;-3 \right) $ .

Câu 4: $ a,b $ là hai số thực sao cho đường thẳng $ ax+by=5 $ đi qua hai điểm $ A\left( -2;-3 \right) $ $ B\left( 4;1 \right) $ . Tính $ a.b $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo đề bài ta có:

$ \left\{ \begin{array}{l} -2a-3b=5 \\ 4a+b=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -4a-6b=10 \\ 4a+b=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2a-3b=5 \\ -5b=15 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=-3 \end{array} \right.\Rightarrow a.b=-6 $

Câu 5: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} 4\text{x}+3y=13 \\ 5\text{x}-3y=-31 \end{array} \right. $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \left\{ \begin{array}{l} 4\text{x}+3y=13\text{ }\left( 1 \right) \\ 5\text{x}-3y=-31\text{ }\left( 2 \right) \end{array} \right. $

Lấy (1) + (2) ta được: $ 9x=-18\Leftrightarrow x=-2. $ Thay vào (1) suy ra $ 3y=21\Rightarrow y=7 $ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $ \left( -2;7 \right) $

Câu 6: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} 7\text{x}+5y=19 \\ 3\text{x}+5y=31 \end{array} \right. $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \left\{ \begin{array}{l} 7\text{x}+5y=19\text{ }\left( 1 \right) \\ 3\text{x}+5y=31\text{ }\left( 2 \right) \end{array} \right. $ . Lấy (1) – (2) ta được : $ 4x=-12\Leftrightarrow x=-3. $

Thay vào $ \left( 1 \right) $ ta được: $ 5y=40\Leftrightarrow y=8 $ . Vậy hệ có nghiệm $ \left( -3;8 \right) $ .

Câu 7: Giải hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} 7\text{x}-5y=3 \\ 3\text{x}+10y=62 \end{array} \right. $ ta được nghiệm $ \left(x;y \right) $ có dạng $ \left(a;b \right) $. Tính $ a+b $

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$ \left\{ \begin{array}{l} 7\text{x}-5y=3 \\ 3\text{x}+10y=62 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 14x-10y=6 \\ 3\text{x}+10y=62 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 17x=68 \\ 3\text{x}+10y=62 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4 \\ y=5 \end{array} \right. $ $ \Rightarrow a+b=9 $

Câu 8: Giải hệ $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2} \end{array} \right. $ bằng phương pháp cộng đại số ta được nghiệm $ \left( x;y \right) $ . Tính $ x+3\sqrt{3}y $ .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ x\sqrt{2}+y\sqrt{6}=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ (\sqrt{6}+\sqrt{3})y=1 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 \\ y=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \\ x\sqrt{2}-\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \\ x=1 \end{array} \right. \end{array} $

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $ (x;y)=\left( 1;\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3} \right) $

$ \Rightarrow x+3\sqrt{3}y=1+3\sqrt{2}-3=3\sqrt{2}-2 $

Câu 9: Số nghiệm của hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5(x+2y)-3(x-y)=99 \\ x-3y=7x-4y-17 \end{array} \right. $ là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5(x+2y)-3(x-y)=99 \\ x-3y=7x-4y-17 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5x+10y-3x+3y=99 \\ x-3y-7x+4y=-17 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+13y=99 \\ -6x+y=-17 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 6x+39y=297 \\ -6x+y=-17 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -6x+y=-17 \\ 40y=280 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=7 \\ x=4 \end{array} \right. \end{array} $

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \left( 4;7 \right) $