Môđun số phức
Lý thuyết về Môđun số phức
Môđun của số phức $z = a + bi (a, b \in \mathbb{R})$, kí hiệu là $|z|$ hoặc $|a + bi|$, là một số thực không âm cho bởi công thức $\left| a+bi \right|=\sqrt[{}]{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
Từ đó ta có thể suy ra $z \bar{z} = |z|^2$ và $|\bar{z}| = |z|$ với mọi số phức $z$.
Nếu $z \in \mathbb{R}$ ($z$ là số thực) thì môđun của $z$ chính là giá trị tuyệt đối của số thực đó và $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$.
Ví dụ. $\left| 3-2i \right|=\sqrt[{}]{{{3}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\sqrt[{}]{13}$
Tính chất. Với hai số phức $z_1, z_2$ bất kỳ ta có:
- $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai số bằng $0$ hoặc tồn tại số thực $k \ne 0$ sao cho $z_1 = k \cdot z_2$
- $|z_1 - z_2| \ge \Big| |z_1| - |z_2| \Big|$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai số bằng $0$ hoặc tồn tại số thực $k \ne 0$ sao cho $z_1 = k \cdot z_2$
- $| z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.
- $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ (với $z_2 \ne 0$).
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho số phức $z=a-bi\left( a;b\in R \right)$. Khi đó, $\left| z \right|$ bằng
- A
- B
- C
- D
$\left| z \right|=\left| a-bi \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( -b \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Câu 2: Cho số phức $z\ne 0$, khi đó khẳng định đúng là
- A
- B
- C
- D
Goi $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ khi đó
$z+\overline{z}=a+bi+a-bi=2a$ là 1 số thực
$z+\left| z \right|=a+bi+\sqrt{a+{{b}^{2}}};z-\left| z \right|=a+bi-\sqrt{a+{{b}^{2}}}$
$z-\overline{z}=a+bi-\left( a-bi \right)=2bi$ là số thuần ảo
Câu 3: Cho số phức $z=4+3i$, các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta có: \(\left| 4+3i \right|=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5\)
Câu 4: Cho số phức $z=3+i$. Mođun của số phức z là
- A
- B
- C
- D
$|z|=\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{10}$
Câu 5: Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+4i$ và${{z}_{2}}=4-i$. Khi đó ta có:
- A
- B
- C
- D
\(\left. \begin{align}
& \left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{17} \\
& \left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{4}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}=\sqrt{17} \\
\end{align} \right\}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\)
Câu 6: Tổng bình phương môdul các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=\sqrt{3}$ và ${{z}^{2}}$ là số thực là
- A
- B
- C
- D
Giả sử $z=x+yi\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ Ta có $\left| z \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3$ ${{z}^{2}}={{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2\text{x}yi$ là số thực \( \Rightarrow 2{\rm{x}}y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y = \pm \sqrt 3 \\ x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Vậy $\left[ \begin{align} & z=\pm \sqrt{3} \\ & z=\pm \sqrt{3}i \\ \end{align} \right.\Rightarrow $ Tổng bình phương môđul các số phức z là: $12$
Câu 7: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=\sqrt{5}$ và ${{\left( z-1 \right)}^{2}}$ là số thuần ảo?
- A
- B
- C
- D
Giả sử $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ $\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5$
Mà ${{\left( z-1 \right)}^{2}}={{\left( a-1+bi \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}+2\left( a-1 \right)bi$ là số thuần ảo
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2} = {\left( {a - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 1\\ a = 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b = \pm 2\\ b = \pm 1 \end{array} \right. \end{array}$
$\Rightarrow $ Có 4 số phức thỏa mãn.
Câu 8: Cho số phức $z=a+bi$ $(a,b\in \mathbb{R})$ thỏa mãn $z+1+3i-\left| z \right|i=0$. Tính $S=a+3b$
Cho số phức $z=a+bi$ $(a,b\in \mathbb{R})$ thỏa mãn $z+1+3i-\left| z \right|i=0$. Tính $S=a+3b$
- A
- B
- C
- D
$z=a+bi\Rightarrow z+1+3i-\left| z \right|i=0\Leftrightarrow \left( a+1 \right)+(b+3-\sqrt[{}]{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}})i=0$ $\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a + 1 = 0\\ b + 3 - \sqrt[{}]{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = - \dfrac{4}{3} \end{array} \right.\\ \Rightarrow S = a + 3b = - 1 + 3\left( { - \dfrac{4}{3}} \right) = - 5 \end{array}$
Câu 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z-3i \right|=5$ và $\dfrac{z}{z-4}$ là số thuần ảo ?
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z-3i \right|=5$ và $\dfrac{z}{z-4}$ là số thuần ảo ?
- A
- B
- C
- D
$\dfrac{z}{z-4}$ là số thuần ảo nên $z\ne 4$ và $\dfrac{z}{z-4}=bi$ với $b\in R$ Tức là $z=\dfrac{4bi}{bi-1}$
Khi đó $5=\left| z-3i \right|=\left| \dfrac{4bi}{bi-1}-3i \right|=\left| \dfrac{3b+\left( 4b+3 \right)i}{bi-1} \right|=\dfrac{\sqrt[{}]{{{\left( 3b \right)}^{2}}+{{\left( 4b+3 \right)}^{2}}}}{\sqrt[{}]{{{b}^{2}}+1}}$
$\Leftrightarrow 9{{b}^{2}}+16{{b}^{2}}+24b+9=25\left( {{b}^{2}}+1 \right)\Leftrightarrow b=\dfrac{2}{3}$ vậy có 1 số z thỏa mãn đề bài
Câu 10: Cho số phức \[z=2-i\]. Giá trị của a để \[\left| z+a+3i \right|=2\sqrt{2}\] là
- A
- B
- C
- D
Ta có $\left| z+a+3i \right|=\left| 2+a+2i \right|=\sqrt{{{\left( 2+a \right)}^{2}}+4}$
$\Rightarrow \left| z+a+3i \right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 2+a \right)}^{2}}+4}=2\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow {{\left( 2+a \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& a=0 \\
& a=-4 \\
\end{align} \right.$