Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương
Lý thuyết về Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương
Định lí:
Cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. khi đó mọi vectơ $\overrightarrow{x}$ đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho $\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$
Ví dụ: Cho Tam giác $ABC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NA=2 NC$. Gọi $K$ là trung điểm $MN$ . Phân tích $\overrightarrow{AK}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$
Ta có:
$2\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$ (theo qui tắc trung điểm)
mà $\overrightarrow{AM}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}, \overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
Khi đó thay vào ta được $\overrightarrow {AK}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hai điểm cố định $ A,B $. Gọi $ I $ là trung điểm $ AB $ . Tập hợp các điểm $ M $ thoả mãn$ \left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right| $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ \left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right| $ $ \Leftrightarrow \left| 2\overrightarrow{MI} \right|=\left| \overrightarrow{BA} \right|\Leftrightarrow 2MI=BA\Leftrightarrow MI=\dfrac{BA}{2} $
Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường tròn đường kính $ AB $.
Câu 2: Trên đường thẳng chứa cạnh $ BC $ của tam giác $ ABC $ lấy một điểm $ M $ sao cho $ \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC} $ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $ . Khi đó, $ C $ là trung điểm của $ MI $ . Ta có
$ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AC}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AI}+2\overrightarrow{AC} =-\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+2\overrightarrow{AC} =-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} .$
Câu 3: Cho tam giác $ ABC $ và điểm $ M $ thỏa mãn $ \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB} $ . Tìm vị trí điểm $ M $
- A
- B
- C
- D
Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $
$ \begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MI} \end{array} $
$ \Rightarrow M $ là trung điểm $ AC $
Câu 4: Cho tam giác $ ABC $ , có bao nhiêu điểm $ M $ thỏa $ \left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=5 $ ?
- A
- B
- C
- D
Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ABC $ , ta có $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG} $ .
Thay vào ta được : $ \left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=5\Leftrightarrow \left| 3\overrightarrow{MG} \right|=5\Leftrightarrow MG=\dfrac{5}{3} $ , hay tập hợp các điểm $ M $ là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác $ ABC $ và bán kính bằng $ \dfrac{5}{3} $
$ \Rightarrow $ Có vô số điểm $ M $ thỏa mãn yêu cầu đề bài
Câu 5: Cho $ I,J,K $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB,\text{ }BC,\text{ }CA $ của tam giác $ ABC $ . Giả sử $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0} $ . Vị trí điểm $ M $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có
$ \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} \right)+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} $
$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} $
$ \Leftrightarrow $ $ M $ là trung điểm của $ KB $
$ \Leftrightarrow $ $ M $ là tâm của hình bình hành $ BIKJ $.
Câu 6: Cho tam giác $ ABC $ . Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $ và $ N $ là trung điểm $ AM $ . Đường thẳng $ BN $ cắt $ AC $ tại $ P $ . Khi đó $ \overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{CP} $ thì giá trị của $ x $ là:
- A
- B
- C
- D
Kẻ $ MK//BP\,(K\in AC) $
Do $ M $ là trung điểm của $ BC $ nên suy ra $ K $ là trung điểm của $ CP $
Vì $ MK//BP\Rightarrow MK//NP $ mà $ N $ là trung điểm của $ AM $ nên suy ra $ P $ là trung điểm của $ AK $
Do đó: $ AP=PK=KC $ .
Vậy $ \overrightarrow{AC}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CP}\Rightarrow x=-\dfrac{3}{2} $
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới
- Trạng từ liên kết
- Phong trào giải phóng dân tộc và Tổng khởi nghĩa tháng Tám (1939-1945). Nước Việt Nam Dân chủ Cộng hòa ra đời
- Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa nửa sau thế kỉ XX
- Việt Nam trong năm đầu sau thắng lợi của cuộc kháng chiến chống Mĩ, cứu nước năm 1975
- Các nước châu Phi và Mĩ Latinh