Căn bậc $n$

Định nghĩa. Với $n$ nguyên dương, căn bậc $n$ của số thực $a$ là số thực $b$ sao cho $b^n = a$.

• Khi $n$ là số lẻ thì với mỗi số thực $a$ luôn tồn tại đúng một căn bậc $n$ được kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$, và ta có $$\left\{\begin{array}{l} \sqrt[n]{a} > 0\,\,\, \text{khi}\,\,\, a > 0;\\ \sqrt[n]{a} < 0\,\,\, \text{khi}\,\,\, a < 0.\end{array}\right.$$
• Khi $n$ là số chẵn, mỗi số thực dương $a$ có đúng hai căn bậc $n$ là hai số đối nhau, căn có giá trị dương kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$, căn có giá trị âm kí hiệu là $-\sqrt[n]{a}$.
• Số âm không có căn bậc chẵn vì lũy thừa bậc chẵn của một số thực bất kì là số không âm.

Tính chất. Với hai số không âm $a, b$, hai số nguyên dương $m, n$ và hai số nguyên tùy ý $p, q$ , ta có:

1. $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
2. $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\,\,\,(b > 0)$.
3. $\sqrt[n]{a^p} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^p\,\,\,(a > 0)$.
4. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
5. Nếu $\dfrac{p}{n} = \dfrac{q}{m}$ thì $\sqrt[n]{a^p} = \sqrt[m]{a^q}\,\,\,(a > 0)$.