Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
$ΔABC$ và $ΔA’B’C’$ có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AB = \;A'B'}\\
{\widehat B = \widehat B}\\
{BC = \;B'C'}
\end{array}} \right.\\
\Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'
\end{array}\]
Áp dụng: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Cho tam giác $ ADK $ qua $ A $ vẽ đường thẳng $ d\text{//}DK $ . Trên $ d $ lấy điểm $ H $ sao cho
$ AH=DK $ ( $ H $ và $ D $ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa cạnh $ AK $ ). Khi đó
Xét $ \Delta ADK $ và $ \Delta KHA $ có $ \left\{ \begin{array}{l} AH=DK \\ AK\,\,\,chung \\ \widehat{AK\text{D}}=\widehat{K\text{A}H} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta A\text{D}K=\Delta KHA\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A\text{D}=KH \\ \widehat{DAK}=\widehat{AKH}\Rightarrow A\text{D//}HK \\ \widehat{A\text{D}K}=\widehat{KHA} \end{array} \right. $
Xét tam giác ABD và tam giác CBD có:
AB = BC (giả thiết);
$ \widehat{ABD}=\widehat{CBD} $ (Vì BD là tia phân giác của $ \widehat{ABC} $ );
Cạnh BD chung
$ \Rightarrow \,\,\Delta ABD=\Delta CBD\,(c.g.c) $
$ \Rightarrow \,DA=DC\,\,(1)\,\,;\,\widehat{BDA}=\widehat{BDC} $
Từ (1) suy ra D là trung điểm của AC.
Ta có: $ \widehat{BDA}+\widehat{BDC}={{180}^{o}}\,\Rightarrow \,2\widehat{BDA}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{BDA}={{90}^{o}} $ $ \Rightarrow \,BD\bot AC. $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AC.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có: EK là đường trung trực của AB $ \Rightarrow \,\,EK\bot AB $ và KA = KB.
EH là đường trung trực của BC $ \Rightarrow $ $ EH\bot BC $ và HB = HC.
Xét tam giác AEK và tam giác BEK có:
AK = BK; $ \widehat{AKE}=\widehat{BKE}={{90}^{o}} $ ; Cạnh EK chung
$ \Rightarrow \,\Delta AEK=\Delta BEK\,(c.g.c)\,\Rightarrow \,\,EA=EB. $ (1)
Xét tam giác BEH và tam giác CEH có:
HB = HC; $ \widehat{EHB}=\widehat{EHC}={{90}^{o}} $ ; Cạnh EH chung
$ \Rightarrow \,\Delta BEH=\Delta CEH\,(c.g.c) $ $ \Rightarrow \,EB=EC. $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra EA = EB = EC.
Xét $ \Delta AM\text{E} $ và $ \Delta BMC $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MC=ME \\ MA=MB \\ \widehat{AM\text{E}}=\widehat{CMB} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AM\text{E}=\Delta BMC\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} E\text{A}=BC \\ \widehat{MCB}=\widehat{ME\text{A}}\Rightarrow BC\text{//}A\text{E} \end{array} \right. $
Mà EF=FA+EA=FA+BC $ \Rightarrow \text{EF} > BC $
Dễ dàng chứng minh được FA=BC mà EA=BC nên A là trung điểm của FE
Xét tam giác BMC và tam giác CNB có:
BM = CN (giả thiết);
$ \widehat{MBC}=\widehat{NCB} $ (giả thiết);
Cạnh BC chung
$ \Rightarrow \,\Delta MBC=\Delta NCB\,(c.g.c) $
$ \Rightarrow \,\widehat{BMC}=\widehat{BNC}\,;\,\,\widehat{MCB}=\widehat{NBC}\,;\,CM\,=\,BN $ .
Ta có: $ CD=OD-OC;\,AB=OB-OA $ .
Mà OC = OA; OD = OB $ \Rightarrow $ CD = AB.
Xét tam giác OAD và tam giác OCB có:
$ OA=OC\, $ (giả thiết);
$ \widehat{O} $ chung;
OB = OD (giả thiết)
$ \Rightarrow \,\Delta OAD=\Delta OCB\,(c.g.c) $
$ \Rightarrow \,AD=BC\,;\,\,\widehat{OCB}=\widehat{OAD}\,;\,\widehat{ODA}=\widehat{OBC} $
Xét $ \Delta ABM $ và $ \Delta DCM $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MB=MC \\ MA=M\text{D} \\ \widehat{AMB}=\widehat{CM\text{D}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DCM\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{C\text{D}M} $
Mà 2 góc $ \widehat{BAM} $ và $ \widehat{C\text{D}M} $ có vị trí so le trong nên $ B\text{D//}AC $
Xét tam giác AEM và tam giác MDA có:
AE = DM (giả thiết);
$ \widehat{EAM}=\widehat{DMA} $ (so le trong do d // DM);
Cạnh AM chung
$ \Rightarrow \,\Delta AEM=\Delta MDA\,(c.g.c) $
$ \Rightarrow \,\,\widehat{AME}=\widehat{DAM} $ ; $ \widehat{AEM}=\widehat{ADM} $ ; EM = AD.
Ta có hai góc $ \widehat{AME} $ và $ \widehat{DAM} $ là cặp góc so le trong bằng nhau nên AD // EM.
Biết rằng $ \widehat{A}-\widehat{N}={{20}^{o}} $ , khi đó số đo góc N là:
Xét tam giác ABC và tam giác EMN có:
AB = EM ; $ \widehat{B}=\widehat{M}={{80}^{o}} $ ; BC = MN
$ \Rightarrow \,\,\Delta ABC\,=\Delta EMN\,(c.g.c) $
$ \Rightarrow \,\,\widehat{A}=\widehat{E}\,;\,\widehat{C}=\widehat{N} $ .
Xét tam giác ABC có $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}} $
$ \Rightarrow \,\,\widehat{A}+\widehat{C}={{180}^{o}}-\widehat{B}={{180}^{o}}-{{80}^{o}}={{100}^{o}} $
Mà $ \widehat{A}-\widehat{C}=\widehat{A}-\widehat{N}={{20}^{o}} $
$ \Rightarrow \,\,\,\widehat{C}=\left( {{100}^{o}}-{{20}^{o}} \right):2={{40}^{o}} $
Vậy $ \widehat{N}=\widehat{C}={{40}^{o}} $ .
Xét tam giác ABD và tam giác AED có:
$ AB=AE $ (giả thiết);
$ \widehat{BAD}=\widehat{EAD} $ (Vì AD là tia phân giác của góc BAC);
Cạnh AD chung
$ \Rightarrow \,\Delta ABD=\Delta AED\,(c.g.c) $
$ \Rightarrow \,BD=DE\,;\,\widehat{ABD}=\widehat{AED} $ ; $ \widehat{ADB}=\widehat{ADE} $ .
Vì AD là tia phân giác của $ \widehat{xAy} $ nên $ \widehat{BAD}=\widehat{CAD} $ .
Xét tam giác ACD và tam giác ABD có:
AB = AC; $ \widehat{CAD}=\widehat{BAD} $ ; Cạnh AD chung
$ \Rightarrow \,\Delta ACD=\Delta ABD\,(c.g.c) $
$ \Rightarrow \,DC=DB\,;\,\widehat{ADC}=\widehat{ADB}\,;\,\widehat{ACD}=\widehat{ABD} $ .
Ta có tia DA nằm giữa hai tia DC và DB; $ \widehat{ADC}=\widehat{ADB} $
$ \Rightarrow $ Tia DA là tia phân giác của $ \widehat{CDB} $ .
Xét $ \Delta ABM $ và $ \Delta DCM $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MB=MC \\ MA=M\text{D} \\ \widehat{AMB}=\widehat{CM\text{D}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DCM\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{\text{MAB}} $
$ \Rightarrow \widehat{CAB}=2\widehat{MAB}={{72}^{o}} $
ta có $ AD\text{//}BC $ và $ AD=BC $
Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
Do $ AD\text{//}BC\Rightarrow \widehat{DBC}=\widehat{A\text{D}B} $ mà $ AD=BC $ và cạnh $ B\text{D}\, $ chung nên $ \Delta BC\text{D}=\Delta DAB\left( c-g-c \right) $
Cho hình vẽ, các yếu tố giống nhau được đánh dấu "giống nhau". Ta có
Xét $ \Delta BDA $ và $ \Delta CEA $ có $ \left\{ \begin{array}{l} AB=AC \\ B\text{D}=CE \\ \widehat{AB\text{D}}=\widehat{AC\text{E}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BA\text{D}=\Delta CA\text{E}\left( c-g-c \right) $
Xét $ \Delta BE\text{A} $ và $ \Delta C\text{D}A $ có $ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{ABE}=\widehat{AC\text{D}} \\ AB=AC \\ BE=C\text{D} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BE\text{A}=\Delta C\text{D}A\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{E\text{A}B}=\widehat{DAC};\,\,A\text{D}=A\text{E} $
Xét $ \Delta AMN $ và $ \Delta CPN $ có $ \left\{ \begin{array}{l} NP=MN \\ AN=CN \\ \widehat{ANM}=\widehat{CNP} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AMN=\Delta CPN\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} MN=NP=\dfrac{1}{2}MP \\ AM=CP \\ \widehat{MAN}=\widehat{NCP}\Rightarrow AM\text{//}CP\Rightarrow AB\text{//}CP \end{array} \right. $
Tương tự ta chứng minh được $ MP=BC\Rightarrow BC=2MN $ .
Cho hình bên,
Độ dài cạnh $ IK $ bằng
Xét $ \Delta SHK $ và $ \Delta IHK $ có $ \left\{ \begin{array}{l} SH=IH \\ HK\,\,chung \\ \widehat{SHK}=\widehat{IHK} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta SHK=\Delta IHK\left( c-g-c \right)\Rightarrow IK=SK=4cm $
Xét $ \Delta ABM $ và $ \Delta ECM $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MA=ME \\ MC=MB \\ \widehat{AMB}=\widehat{CME} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ECM\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat{MAB}=\widehat{MEC}\Rightarrow AB\text{//}CE \\ AB=CE \end{array} \right. $
Chứng minh tương tự ta có $ \Delta AMC=\Delta EMB\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat{CAM}=\widehat{BEM}\Rightarrow BE\text{//}AC \\ AC=BE \end{array} \right. $
(I) Đúng, (II) sai.
Biết rằng: $ AB\bot BC\,;\,EC\bot BC $ . Hệ thức bằng nhau giữa hai tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng là:
Ta có: $ AB\bot BC\, $ $ \Rightarrow \,\,\widehat{ABC}={{90}^{o}} $ .
$ EC\bot BC\,\Rightarrow \,\widehat{ECB}={{90}^{o}} $ .
Xét tam giác ABC và tam giác ECB có:
AB = EC; $ \widehat{ABC}=\widehat{ECB}={{90}^{o}} $ ; Cạnh BC chung
$ \Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta ECB\,(c.g.c) $
Xét $ \Delta ABC $ và $ \Delta DMC $ có $ \left\{ \begin{array}{l} BC=CM \\ AC=C\text{D} \\ \widehat{BCA}=\widehat{MC\text{D}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC=\Delta DMC\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{CM\text{D}} $
Trong đó AB = CD, AB // CD. Hệ thức bằng nhau giữa hai tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng nào sau đây là sai?
Xét tam giác ABC và tam giác ACD có:
AB = CD (giả thiết);
$ \widehat{BAC}=\widehat{DCA} $ (so le trong do AB // CD);
Cạnh AC chung
$ \Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta CDA\,(c.g.c) $ .
Hay $ \Delta BAC=\Delta DCA $ , $ \Delta CAB=\Delta ACD $ .
Khẳng định nào dưới đây là sai ?
Do tam giác ABC có $ \hat{B}=\hat{C}\Rightarrow \Delta ABC $ cân nên AB=AC mà BM=CN nên AM=AN.
Xét $ \Delta BMC $ và $ \Delta CNB $ có $ \left\{ \begin{array}{l} \hat{B}=\hat{C} \\ BC\,\,chung \\ BM=NC \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BMC=\Delta CNB\left( c.g.c \right)\Rightarrow BN=CM $
Ta có $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{A}={{180}^{o}}-2\widehat{C} $
Xét $ \Delta BMN $ và $ \Delta CNM $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MN\,\,chung \\ BM=CN \\ CM=BN \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BMN=\Delta CNM\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{MNB}=\widehat{CMN} $
Khẳng định nào sai?
Xét $ \Delta ABC $ và $ \Delta A\text{D}E $ có $ \left\{ \begin{array}{l} AB=A\text{D} \\ AC=A\text{E} \\ \widehat{BAC}=\widehat{DA\text{E}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC=\Delta A\text{D}E\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} BC=DE \\ \widehat{A\text{ED}}=\widehat{ACB}\Rightarrow DE\text{//}BC \end{array} \right. $
Vậy $ \widehat{A\text{ED}}=\widehat{ABC} $ là sai.
Cho hình bên,
Số đo góc $ \widehat{MQP} $ bằng
Xét $ \Delta MNP $ có $ \widehat{MNP}+\widehat{MPN}+\widehat{NMP}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{MNP}={{90}^{o}} $
Xét $ \Delta MNP $ và $ \Delta MQP $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MN=MQ \\ MP\,\,chung \\ \widehat{NMP}=\widehat{PMQ} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta MNP=\Delta MQP\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{MQP}=\widehat{MNP}={{90}^{o}} $
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới