Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Lý thuyết về Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

2. Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
$ΔABC$$ΔA’B’C’$ có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AB = \;A'B'}\\
{\widehat B = \widehat B}\\
{BC = \;B'C'}
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'
\end{array}\]
Áp dụng: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Chọn câu trả lời sai.

Cho tam giác $ ADK $ qua $ A $ vẽ đường thẳng $ d\text{//}DK $ . Trên $ d $ lấy điểm $ H $ sao cho

$ AH=DK $ ( $ H $ và $ D $ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa cạnh $ AK $ ). Khi đó

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta ADK $ và $ \Delta KHA $ có $ \left\{ \begin{array}{l} AH=DK \\ AK\,\,\,chung \\ \widehat{AK\text{D}}=\widehat{K\text{A}H} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta A\text{D}K=\Delta KHA\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A\text{D}=KH \\ \widehat{DAK}=\widehat{AKH}\Rightarrow A\text{D//}HK \\ \widehat{A\text{D}K}=\widehat{KHA} \end{array} \right. $

Câu 2: Cho tam giác ABC có $ AB=BC $ . Tia phân giác của góc ABC cắt AC ở D. Chọn khẳng định sai?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác ABD và tam giác CBD có:

AB = BC (giả thiết);

$ \widehat{ABD}=\widehat{CBD} $ (Vì BD là tia phân giác của $ \widehat{ABC} $ );

Cạnh BD chung

$ \Rightarrow \,\,\Delta ABD=\Delta CBD\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,DA=DC\,\,(1)\,\,;\,\widehat{BDA}=\widehat{BDC} $

Từ (1) suy ra D là trung điểm của AC.

Ta có: $ \widehat{BDA}+\widehat{BDC}={{180}^{o}}\,\Rightarrow \,2\widehat{BDA}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{BDA}={{90}^{o}} $ $ \Rightarrow \,BD\bot AC. $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AC.

Câu 3: Cho tam giác ABC. Đường trung trực của AB và đường trung trực của BC cắt nhau tại E. Lấy K, H lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: EK là đường trung trực của AB $ \Rightarrow \,\,EK\bot AB $ và KA = KB.

EH là đường trung trực của BC $ \Rightarrow $ $ EH\bot BC $ và HB = HC.

Xét tam giác AEK và tam giác BEK có:

AK = BK; $ \widehat{AKE}=\widehat{BKE}={{90}^{o}} $ ; Cạnh EK chung

$ \Rightarrow \,\Delta AEK=\Delta BEK\,(c.g.c)\,\Rightarrow \,\,EA=EB. $ (1)

Xét tam giác BEH và tam giác CEH có:

HB = HC; $ \widehat{EHB}=\widehat{EHC}={{90}^{o}} $ ; Cạnh EH chung

$ \Rightarrow \,\Delta BEH=\Delta CEH\,(c.g.c) $ $ \Rightarrow \,EB=EC. $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra EA = EB = EC.

Câu 4: Cho $ \Delta ABC $$ M $ là trung điểm của $ AB $ . Trên tia đối của tia $ MC $ lấy điểm $ E $ sao cho $ MC=ME $ . Gọi $ N $ là trung điểm của $ AC $ , kẻ $ EA $ cắt $ BN $ tại $ F $ . Khẳng định sai

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta AM\text{E} $ và $ \Delta BMC $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MC=ME \\ MA=MB \\ \widehat{AM\text{E}}=\widehat{CMB} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AM\text{E}=\Delta BMC\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} E\text{A}=BC \\ \widehat{MCB}=\widehat{ME\text{A}}\Rightarrow BC\text{//}A\text{E} \end{array} \right. $

Mà EF=FA+EA=FA+BC $ \Rightarrow \text{EF} > BC $

Dễ dàng chứng minh được FA=BC mà EA=BC nên A là trung điểm của FE

Câu 5: Cho tam giác ABC có $ \widehat{B}=\widehat{C} $ . Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho $ BM=CN $ . Khẳng định nào sau đây là sai ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác BMC và tam giác CNB có:

BM = CN (giả thiết);

$ \widehat{MBC}=\widehat{NCB} $ (giả thiết);

Cạnh BC chung

$ \Rightarrow \,\Delta MBC=\Delta NCB\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,\widehat{BMC}=\widehat{BNC}\,;\,\,\widehat{MCB}=\widehat{NBC}\,;\,CM\,=\,BN $ .

Câu 6: Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA < OB (A khác O). Trên tia Oy lấy hai điểm C và D sao cho OC = OA, OD = OB. Chọn câu khẳng định sai:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $ CD=OD-OC;\,AB=OB-OA $ .

Mà OC = OA; OD = OB $ \Rightarrow $ CD = AB.

Xét tam giác OAD và tam giác OCB có:

$ OA=OC\, $ (giả thiết);

$ \widehat{O} $ chung;

OB = OD (giả thiết)

$ \Rightarrow \,\Delta OAD=\Delta OCB\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,AD=BC\,;\,\,\widehat{OCB}=\widehat{OAD}\,;\,\widehat{ODA}=\widehat{OBC} $

Câu 7: Cho $ \Delta ABC $ có $ AB=AC,M $ là trung điểm của $ BC $ . Trên tia đối của tia $ MA $ lấy điểm $ D $ sao cho $ AM=MD $ . Khẳng định sai là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta ABM $ và $ \Delta DCM $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MB=MC \\ MA=M\text{D} \\ \widehat{AMB}=\widehat{CM\text{D}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DCM\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{C\text{D}M} $

Mà 2 góc $ \widehat{BAM} $ và $ \widehat{C\text{D}M} $ có vị trí so le trong nên $ B\text{D//}AC $

Câu 8: Cho tam giác ADM. Qua A kẻ đường thẳng d song song với DM. Lấy điểm E trên đường thẳng d sao cho AE = DM (E và D nằm khác phía so với AM). Khi đó:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác AEM và tam giác MDA có:

AE = DM (giả thiết);

$ \widehat{EAM}=\widehat{DMA} $ (so le trong do d // DM);

Cạnh AM chung

$ \Rightarrow \,\Delta AEM=\Delta MDA\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{AME}=\widehat{DAM} $ ; $ \widehat{AEM}=\widehat{ADM} $ ; EM = AD.

Ta có hai góc $ \widehat{AME} $ và $ \widehat{DAM} $ là cặp góc so le trong bằng nhau nên AD // EM.

Câu 9: Cho hình vẽ sau:

Biết rằng $ \widehat{A}-\widehat{N}={{20}^{o}} $ , khi đó số đo góc N là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác ABC và tam giác EMN có:

AB = EM ; $ \widehat{B}=\widehat{M}={{80}^{o}} $ ; BC = MN

$ \Rightarrow \,\,\Delta ABC\,=\Delta EMN\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{A}=\widehat{E}\,;\,\widehat{C}=\widehat{N} $ .

Xét tam giác ABC có $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{A}+\widehat{C}={{180}^{o}}-\widehat{B}={{180}^{o}}-{{80}^{o}}={{100}^{o}} $

Mà $ \widehat{A}-\widehat{C}=\widehat{A}-\widehat{N}={{20}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\,\,\widehat{C}=\left( {{100}^{o}}-{{20}^{o}} \right):2={{40}^{o}} $

Vậy $ \widehat{N}=\widehat{C}={{40}^{o}} $ .

Câu 10: Cho tam giác ABC (AB < AC). Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở D. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác ABD và tam giác AED có:

$ AB=AE $ (giả thiết);

$ \widehat{BAD}=\widehat{EAD} $ (Vì AD là tia phân giác của góc BAC);

Cạnh AD chung

$ \Rightarrow \,\Delta ABD=\Delta AED\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,BD=DE\,;\,\widehat{ABD}=\widehat{AED} $ ; $ \widehat{ADB}=\widehat{ADE} $ .

Câu 11: Cho góc nhọn xAy. Vẽ tia At là tia phân giác của $ \widehat{xAy} $ . Trên tia Ax lấy điểm B, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AB = AC. Lấy một điểm D bất kì thuộc tia At (D khác A). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì AD là tia phân giác của $ \widehat{xAy} $ nên $ \widehat{BAD}=\widehat{CAD} $ .

Xét tam giác ACD và tam giác ABD có:

AB = AC; $ \widehat{CAD}=\widehat{BAD} $ ; Cạnh AD chung

$ \Rightarrow \,\Delta ACD=\Delta ABD\,(c.g.c) $

$ \Rightarrow \,DC=DB\,;\,\widehat{ADC}=\widehat{ADB}\,;\,\widehat{ACD}=\widehat{ABD} $ .

Ta có tia DA nằm giữa hai tia DC và DB; $ \widehat{ADC}=\widehat{ADB} $

$ \Rightarrow $ Tia DA là tia phân giác của $ \widehat{CDB} $ .

Câu 12: Cho $ \Delta ABC $ có $ AB=AC $ , $ M $ là trung điểm của $ BC $ . Trên tia đối của tia $ MA $ lấy điểm $ D $ sao cho $ AM=MD $ . Điều kiện của $ \Delta ABC $ để góc $ \widehat{ADC}={{36}^{o}} $ . Tam giác $ ABC $ có

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta ABM $ và $ \Delta DCM $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MB=MC \\ MA=M\text{D} \\ \widehat{AMB}=\widehat{CM\text{D}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DCM\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{\text{MAB}} $

$ \Rightarrow \widehat{CAB}=2\widehat{MAB}={{72}^{o}} $

Câu 13: Trong hình vẽ dưới đây,

ta có $ AD\text{//}BC $ và $ AD=BC $

Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do $ AD\text{//}BC\Rightarrow \widehat{DBC}=\widehat{A\text{D}B} $ mà $ AD=BC $ và cạnh $ B\text{D}\, $ chung nên $ \Delta BC\text{D}=\Delta DAB\left( c-g-c \right) $

Câu 14: Chọn câu trả lời sai.

Cho hình vẽ, các yếu tố giống nhau được đánh dấu "giống nhau". Ta có

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta BDA $ và $ \Delta CEA $ có $ \left\{ \begin{array}{l} AB=AC \\ B\text{D}=CE \\ \widehat{AB\text{D}}=\widehat{AC\text{E}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BA\text{D}=\Delta CA\text{E}\left( c-g-c \right) $

Xét $ \Delta BE\text{A} $ và $ \Delta C\text{D}A $ có $ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{ABE}=\widehat{AC\text{D}} \\ AB=AC \\ BE=C\text{D} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BE\text{A}=\Delta C\text{D}A\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{E\text{A}B}=\widehat{DAC};\,\,A\text{D}=A\text{E} $

Câu 15: Cho $ \Delta ABC $ có $ M,N $ là trung điểm của $ AB $ và $ AC $ . trên tia đối của tia $ NM $ xác định điểm $ P $ sao cho $ NP=MN $ . Khẳng định sai

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta AMN $ và $ \Delta CPN $ có $ \left\{ \begin{array}{l} NP=MN \\ AN=CN \\ \widehat{ANM}=\widehat{CNP} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AMN=\Delta CPN\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} MN=NP=\dfrac{1}{2}MP \\ AM=CP \\ \widehat{MAN}=\widehat{NCP}\Rightarrow AM\text{//}CP\Rightarrow AB\text{//}CP \end{array} \right. $

Tương tự ta chứng minh được $ MP=BC\Rightarrow BC=2MN $ .

Câu 16: Chọn câu trả lời đúng.

Cho hình bên,

Độ dài cạnh $ IK $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta SHK $ và $ \Delta IHK $ có $ \left\{ \begin{array}{l} SH=IH \\ HK\,\,chung \\ \widehat{SHK}=\widehat{IHK} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta SHK=\Delta IHK\left( c-g-c \right)\Rightarrow IK=SK=4cm $

Câu 17: Cho $ \Delta ABC $ có $ M $ là trung điểm của $ BC $ . Trên tia đối của tia $ MA $ lấy điểm $ E $ sao cho $ ME=MA $ . Khẳng định nào sau đây là sai ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta ABM $ và $ \Delta ECM $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MA=ME \\ MC=MB \\ \widehat{AMB}=\widehat{CME} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ECM\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat{MAB}=\widehat{MEC}\Rightarrow AB\text{//}CE \\ AB=CE \end{array} \right. $

Chứng minh tương tự ta có $ \Delta AMC=\Delta EMB\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat{CAM}=\widehat{BEM}\Rightarrow BE\text{//}AC \\ AC=BE \end{array} \right. $

Câu 18: Chọn câu trả lời đúng. Xét các khẳng định sau (I) Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau. (II) Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh của tam giác vuông kia thì hai tam giác bằng nhau.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

(I) Đúng, (II) sai.

Câu 19: Cho hình vẽ sau:

Biết rằng: $ AB\bot BC\,;\,EC\bot BC $ . Hệ thức bằng nhau giữa hai tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $ AB\bot BC\, $ $ \Rightarrow \,\,\widehat{ABC}={{90}^{o}} $ .

$ EC\bot BC\,\Rightarrow \,\widehat{ECB}={{90}^{o}} $ .

Xét tam giác ABC và tam giác ECB có:

AB = EC; $ \widehat{ABC}=\widehat{ECB}={{90}^{o}} $ ; Cạnh BC chung

$ \Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta ECB\,(c.g.c) $

Câu 20: Cho $ \Delta ABC $ . Trên tia đối của tia $ CB $ lấy điểm $ M $ sao cho $ CM=CB $ . Trên tia đối của tia $ CA $ lấy điểm $ D $ sao cho $ CD=CA $ . Khẳng định nào sau đây là sai.

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta ABC $ và $ \Delta DMC $ có $ \left\{ \begin{array}{l} BC=CM \\ AC=C\text{D} \\ \widehat{BCA}=\widehat{MC\text{D}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC=\Delta DMC\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{CM\text{D}} $

Câu 21: Cho hình vẽ sau:

Trong đó AB = CD, AB // CD. Hệ thức bằng nhau giữa hai tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng nào sau đây là sai?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác ABC và tam giác ACD có:

AB = CD (giả thiết);

$ \widehat{BAC}=\widehat{DCA} $ (so le trong do AB // CD);

Cạnh AC chung

$ \Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta CDA\,(c.g.c) $ .

Hay $ \Delta BAC=\Delta DCA $ , $ \Delta CAB=\Delta ACD $ .

Câu 22: Cho tam giác ABC có $ \hat{B}=\hat{C} $ . Trên AB và AC lấy điểm M, N sao cho BM = CN.

Khẳng định nào dưới đây là sai ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do tam giác ABC có $ \hat{B}=\hat{C}\Rightarrow \Delta ABC $ cân nên AB=AC mà BM=CN nên AM=AN.

Xét $ \Delta BMC $ và $ \Delta CNB $ có $ \left\{ \begin{array}{l} \hat{B}=\hat{C} \\ BC\,\,chung \\ BM=NC \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BMC=\Delta CNB\left( c.g.c \right)\Rightarrow BN=CM $

Ta có $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{A}={{180}^{o}}-2\widehat{C} $

Xét $ \Delta BMN $ và $ \Delta CNM $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MN\,\,chung \\ BM=CN \\ CM=BN \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BMN=\Delta CNM\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{MNB}=\widehat{CMN} $

Câu 23: Cho hình bên

Khẳng định nào sai?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta ABC $ và $ \Delta A\text{D}E $ có $ \left\{ \begin{array}{l} AB=A\text{D} \\ AC=A\text{E} \\ \widehat{BAC}=\widehat{DA\text{E}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC=\Delta A\text{D}E\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} BC=DE \\ \widehat{A\text{ED}}=\widehat{ACB}\Rightarrow DE\text{//}BC \end{array} \right. $

Vậy $ \widehat{A\text{ED}}=\widehat{ABC} $ là sai.

Câu 24: Chọn câu trả lời đúng.

Cho hình bên,

Số đo góc $ \widehat{MQP} $ bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta MNP $ có $ \widehat{MNP}+\widehat{MPN}+\widehat{NMP}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{MNP}={{90}^{o}} $

Xét $ \Delta MNP $ và $ \Delta MQP $ có $ \left\{ \begin{array}{l} MN=MQ \\ MP\,\,chung \\ \widehat{NMP}=\widehat{PMQ} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta MNP=\Delta MQP\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{MQP}=\widehat{MNP}={{90}^{o}} $