Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và góc kề của tam giác kìa thì hai tam giác đó bằng nhau.
$ΔABC$ và $ΔA’B’C’$ có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\widehat B = \widehat {B'}}\\
{BC = \;B'C'}\\
{\widehat C = \widehat {C'}}
\end{array}} \right.\]
$⇒ ΔABC = ΔA’B’C’$
– Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
– Hệ quả 2. Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông nay bằng cạnh huyền, góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Số đo góc MQN là
Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông $ \Delta MNP $ và $ \Delta NMQ $ dễ dàng ta có NQ=PM
Xét $ \Delta MNP $ và $ \Delta NMQ $ có $ \left\{ \begin{array}{l} NP=MQ \\ NQ=PM \\ MN\,\,chung \end{array} \right.\Rightarrow \Delta MNP=\Delta NMQ\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{MQN}=\widehat{NPM}={{48}^{o}} $
Vì BD là tia phân giác của $ \widehat{ABC} $ nên $ \widehat{CBD}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC} $ .
Vì CE là tia phân giác của $ \widehat{ACB} $ nên $ \widehat{BCE}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB} $ .
Mà $ \widehat{ABC}=\widehat{ACB} $ (theo giả thiết)
Do đó: $ \widehat{CBD}=\widehat{BCE} $ .
Xét tam giác BEC và tam giác CDB có:
$ \widehat{EBC}=\widehat{DCB} $ (giả thiết); Cạnh BC chung; $ \widehat{BCE}=\widehat{CBD} $ (chứng minh trên)
$ \Rightarrow \,\Delta BEC=\Delta CDB\,(g.c.g) $
$ \Rightarrow \,CE=BD\,;\,BE=CD $ .
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Vì AB // CD nên $ \widehat{OAB}=\widehat{OCD} $ (so le trong); $ \widehat{OBA}=\widehat{ODC} $ (so le trong).
Xét tam giác AOB và tam giác COD có:
$ \widehat{OAB}=\widehat{OCD} $ (chứng minh trên);
$ AB=CD $ (giả thiết)
$ \widehat{OBA}=\widehat{ODC} $ (chứng minh trên)
$ \Rightarrow \,\Delta AOB=\Delta COD\,(g.c.g) $
$ \Rightarrow \,OA=OC,\,OB=OD. $
Xét tam giác BMK và tam giác IKM có
$ \widehat{IMK}=\widehat{MKB} $ (so le trong do MI // BC);
Cạnh MK chung;
$ \widehat{BMK}=\widehat{MKI} $ (so le trong do BM // IK)
$ \Rightarrow \,\Delta BMK\,=\Delta IKM\,(g.c.g)\,\Rightarrow \,IK=BM $ . (1)
Vì M là trung điểm của AB nên $ AM=BM $ . (2)
Từ (1) và (2) suy ra $ IK=AM=\dfrac{1}{2}AB $ .
ta có AD // BC; AB // CD. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
Ta có AD // BC nên $ \widehat{CB\text{D}}=\widehat{B\text{D}A} $
AB // CD nên $ \widehat{AB\text{D}}=\widehat{B\text{D}C} $
Xét $ \Delta AB\text{D} $ và $ \Delta C\text{D}B $ có
$ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{CB\text{D}}=\widehat{B\text{D}A} \\ \widehat{AB\text{D}}=\widehat{B\text{D}C} \\ B\text{D}\,\,chung \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AB\text{D}=\Delta C\text{D}B(g.c.g)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB=C\text{D} \\ A\text{D}=BC \end{array} \right. $
Kết luận nào sau đây không đúng ?
Xét tam giác ABC có: $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}\, $
$ \Rightarrow \,\widehat{C}={{180}^{o}}-\left( \widehat{A}+\widehat{B} \right)={{180}^{o}}-({{80}^{o}}+{{60}^{o}})={{40}^{o}} $ .
Xét tam giác MNP có: $ \widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}={{180}^{o}}\, $
$ \Rightarrow \,\,\widehat{P}={{180}^{o}}-\left( \widehat{M}+\widehat{N} \right)={{180}^{o}}-\left( {{80}^{o}}+{{40}^{o}} \right)={{60}^{o}} $ .
Xét tam giác ABC và tam giác MPN có:
$ \widehat{A}=\widehat{M}={{80}^{o}} $ ; $ AC=MN $ (giả thiết) ; $ \widehat{C}=\widehat{N}={{40}^{o}} $
$ \begin{array}{l} \Rightarrow \,\,\Delta ABC=\Delta MPN\,(g.c.g) \\ \Rightarrow \,AB=MP\,;\,BC=NP. \end{array} $
Biết rằng $ \widehat{ABC}={{50}^{o}} $ ; $ \widehat{BAM}=\widehat{BCM}={{30}^{o}} $ . Khi đó có thể chứng minh $ \Delta ABM=\Delta CBM $ theo trường hợp nào sau đây ?
Vì BM là tia phân giác của $ \widehat{ABC} $ nên $ \widehat{ABM}=\widehat{CBM}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}{{.50}^{o}}={{25}^{o}} $ .
Xét tam giác ABM có: $ \widehat{BAM}+\widehat{ABM}+\widehat{AMB}={{180}^{o}}\, $
$ \Rightarrow \,\,\widehat{AMB}={{180}^{o}}-\left( \widehat{BAM}+\widehat{ABM} \right)={{180}^{o}}-\left( {{30}^{o}}+{{25}^{o}} \right)={{125}^{o}} $ .
Xét tam giác BCM có: $ \widehat{BMC}+\widehat{MBC}+\widehat{MCB}={{180}^{o}} $
$ \Rightarrow \,\widehat{BMC}={{180}^{o}}-\left( \widehat{MBC}+\widehat{MCB} \right)={{180}^{o}}-\left( {{25}^{o}}+{{30}^{o}} \right)={{125}^{o}} $ .
Xét tam giác ABM và tam giác CBM có:
$ \widehat{ABM}=\widehat{CBM} $ ; Cạnh BM chung ; $ \widehat{AMB}=\widehat{CMB}={{125}^{o}} $
$ \Rightarrow \,\Delta ABM=\Delta CBM\,(g.c.g). $
Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:
$ \widehat{BAD}=\widehat{CAD} $ (Vì AD là tia phân giác của $ \widehat{BAC} $ );
Cạnh AD chung;
$ \widehat{ADB}=\widehat{ADC}={{90}^{o}} $
$ \Rightarrow \,\,\Delta ABD=\Delta ACD $ (g.c.g)
$ \Rightarrow \,AB=AC\,;\,BD=CD\,;\,\widehat{B}=\widehat{C} $ .
Ta có: $ AD\bot BC,\,\,BD=CD $ $ \Rightarrow $ AD là đường trung trực của BC.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Xét tam giác AMI và tam giác BNI có:
$ \widehat{AIM}=\widehat{BIN} $ (đối đỉnh);
$ IM=IN $ (giả thiết);
$ \widehat{AMI}=\widehat{BNI} $ (so le trong do AM // BN)
$ \Rightarrow \,\Delta AMI=\Delta BNI\,(g.c.g) $
$ \Rightarrow \,AM=BN\,;\,AI=BI $
Vì $ AI=BI $ và I nằm giữa A và B nên I là trung điểm của AB.
Vì $ \,\Delta AMI=\Delta BNI $ nên hai tam giác AIM và BIN có diện tích bằng nhau.
Vì BF // AB nên $ \widehat{ABC}=\widehat{CEF} $ (so le trong).
Xét tam giác ABC và tam giác FEC có:
$ \widehat{ABC}=\widehat{CEF} $ ; BC = CE (giả thiết) ; $ \widehat{ACB}=\widehat{FCE} $ (đối đỉnh).
$ \Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta FEC\,(g.c.g) $
$ \Rightarrow \,AC=CF. $
Xét tam giác ACE và tam giác BCF có:
AC = CF (chứng minh trên); CE = BC ; $ \widehat{ACE}=\widehat{BCF} $ (đối đỉnh)
$ \Rightarrow \,\,\Delta ACE=\Delta FCB\,(c.g.c) $
Xét tương tự ta có: $ \Delta ABE=\Delta FEB\,\,\,;\,\,\Delta AEF=\Delta FBA $ .
Vậy có 4 cặp tam giác bằng nhau.
Nếu $ BE=\dfrac{1}{3}AB $ thì chu vi tam giác AFC bằng bao nhiêu?
Ta có: $ \widehat{AEF}+\widehat{AEB}={{180}^{o}} $ (kề bù);
$ \widehat{AFE}+\widehat{AFC}={{180}^{o}} $ (kề bù);
Mà $ \widehat{AEF}=\widehat{AFE} $ (giả thiết)
$ \Rightarrow \,\,\widehat{AEB}=\widehat{AFC} $ .
Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:
$ \widehat{ABE}=\widehat{ACF} $ (giả thiết);
BE = CF (giả thiết);
$ \widehat{AEB}=\widehat{AFC} $
$ \Rightarrow \,\,\Delta ABE=\Delta ACF\,(g.c.g) $
$ \Rightarrow \,AC=AB=12\,cm\,;\,\,AF=AE=9\,cm\,;\, $
$ FC=BE=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{1}{3}.12=4cm. $
Vậy chu vi tam giác AFC là: $ AF+AC+FC=9+12+4=25\,(cm). $
Khẳng định sai là
Xét tam giác SKH có $ \widehat{SHK}+\widehat{SKH}+\widehat{K\text{S}H}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{SKH}={{50}^{o}} $
Tương tự ta có $ \widehat{HKI}={{50}^{o}} $
Xét $ \Delta SHK $ và $ \Delta IHK $ có $ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{SHK}=\widehat{IHK} \\ \widehat{SKH}=\widehat{IKH} \\ HK\,\,chung \end{array} \right.\Rightarrow \Delta SHK=\Delta IHK\left( g.c.g \right) $
Nên KH là tia phân giác $ \widehat{SKI} $ ; HS=HI; SK= IK
Hệ thức bằng nhau giữa hai tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng nào sau đây là đúng?
+ Xét tam giác ABD và tam giác CDB có:
$ \widehat{ABD}=\widehat{BDC} $ (so le trong do AB // CD);
Cạnh BD chung;
$ \widehat{ADB}=\widehat{CBD} $ (so le trong do AD // BC)
$ \Rightarrow \,\,\Delta ABD=\Delta CDB\,(g.c.g) $ .
+ Xét tam giác ABC và tam giác CDA có:
$ \widehat{BAC}=\widehat{ACD} $ (so le trong do AB // CD);
Cạnh AC chung;
$ \widehat{ACB}=\widehat{DAC} $ (so le trong do AD // BC)
$ \Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta CDA\,(g.c.g) $ .
Cho tam giác DEF có $ \widehat{\mathrm{E}}\mathrm{=}\widehat{\mathrm{F}} $ . Tia phân giác của góc D cắt EF tại I . Ta có
Xét $ \Delta \text{DEF} $ có $ \widehat{\mathrm{E}}\mathrm{=}\widehat{\mathrm{F}} $ nên DE=DF nên $ \Delta \text{DEF} $ cân tại D
Mà DI là tia phân giác của $ \widehat{E\text{D}F}\Rightarrow \widehat{E\text{D}I}=\widehat{I\text{D}F} $ và DI là đường trung tuyến, đường cao của $ \Delta \text{DEF}\Rightarrow FI=EI $
Xét ∆ DIE và ∆ DIF có EI=FI; DE=DF; cạnh DI chung nên ∆ DIE = ∆ DIF
Cho $ \Delta $ ABC có $ \widehat{\text{B}}=\widehat{C} $ nên AC=AB
Do AD là tia phân giác của góc $ \widehat{BAC} $ nên $ \widehat{BA\text{D}}=\widehat{CA\text{D}} $
Xét $ \Delta AB\text{D} $ và $ \Delta AC\text{D} $ có
$ \widehat{BA\text{D}}=\widehat{CA\text{D}} $
$ \widehat{\text{B}}=\widehat{C} $
AB=AC
Nên $ \Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D} $ (g.c.g)
Xét \[ \Delta OBK \] và \[ \Delta OAK \] có
\[ \widehat{BOK}=\widehat{AOK} \] ( OK là phân giác góc xOy)
Cạnh OK chung;
\[ \widehat{KBO}=\widehat{K\text{A}O}={{90}^{o}} \]
\[ \Rightarrow \Delta OBK=\Delta OAK\Rightarrow \widehat{BK\text{O}}=\widehat{AK\text{O}} \] nên OK là phân giác góc AK \[ \Rightarrow OK\bot AB \]
Nếu thêm điều kiện để hai tam giác trong hình vẽ bên là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc?
Để $ \Delta FGE=\Delta GFH\left( g.c.g \right) $ thì $ \widehat{EGF}=\widehat{GFH}\Rightarrow EG\text{//}FH $
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới