Trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g)

Trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g)

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g)

Lý thuyết về Trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g)

3. Trường hợp góc – cạnh – góc (g.c.g)

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và góc kề của tam giác kìa thì hai tam giác đó bằng nhau.
$ΔABC$$ΔA’B’C’$ có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\widehat B = \widehat {B'}}\\
{BC = \;B'C'}\\
{\widehat C = \widehat {C'}}
\end{array}} \right.\]
$⇒ ΔABC = ΔA’B’C’$
– Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
– Hệ quả 2. Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông nay bằng cạnh huyền, góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hình vẽ bên.

Số đo góc MQN là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông $ \Delta MNP $ và $ \Delta NMQ $ dễ dàng ta có NQ=PM

Xét $ \Delta MNP $ và $ \Delta NMQ $ có $ \left\{ \begin{array}{l} NP=MQ \\ NQ=PM \\ MN\,\,chung \end{array} \right.\Rightarrow \Delta MNP=\Delta NMQ\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{MQN}=\widehat{NPM}={{48}^{o}} $

Câu 2: Cho tam giác ABC có $ \widehat{B}=\widehat{C} $ . Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Tia phân giác của góc C cắt AB ở E. Khi đó

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì BD là tia phân giác của $ \widehat{ABC} $ nên $ \widehat{CBD}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC} $ .

Vì CE là tia phân giác của $ \widehat{ACB} $ nên $ \widehat{BCE}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB} $ .

Mà $ \widehat{ABC}=\widehat{ACB} $ (theo giả thiết)

Do đó: $ \widehat{CBD}=\widehat{BCE} $ .

Xét tam giác BEC và tam giác CDB có:

$ \widehat{EBC}=\widehat{DCB} $ (giả thiết); Cạnh BC chung; $ \widehat{BCE}=\widehat{CBD} $ (chứng minh trên)

$ \Rightarrow \,\Delta BEC=\Delta CDB\,(g.c.g) $

$ \Rightarrow \,CE=BD\,;\,BE=CD $ .

Câu 3: Cho hình vẽ sau, trong đó $ AB\,//\,CD;AB=CD. $

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì AB // CD nên $ \widehat{OAB}=\widehat{OCD} $ (so le trong); $ \widehat{OBA}=\widehat{ODC} $ (so le trong).

Xét tam giác AOB và tam giác COD có:

$ \widehat{OAB}=\widehat{OCD} $ (chứng minh trên);

$ AB=CD $ (giả thiết)

$ \widehat{OBA}=\widehat{ODC} $ (chứng minh trên)

$ \Rightarrow \,\Delta AOB=\Delta COD\,(g.c.g) $

$ \Rightarrow \,OA=OC,\,OB=OD. $

Câu 4: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AB. Từ M kẻ MI song song với BC (I thuộc AC). Từ I kẻ IK song song với AB (K thuộc BC). Hỏi AB gấp mấy lần IK?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác BMK và tam giác IKM có

$ \widehat{IMK}=\widehat{MKB} $ (so le trong do MI // BC);

Cạnh MK chung;

$ \widehat{BMK}=\widehat{MKI} $ (so le trong do BM // IK)

$ \Rightarrow \,\Delta BMK\,=\Delta IKM\,(g.c.g)\,\Rightarrow \,IK=BM $ . (1)

Vì M là trung điểm của AB nên $ AM=BM $ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ IK=AM=\dfrac{1}{2}AB $ .

Câu 5: Trong hình vẽ dưới đây,

ta có AD // BC; AB // CD. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có AD // BC nên $ \widehat{CB\text{D}}=\widehat{B\text{D}A} $

AB // CD nên $ \widehat{AB\text{D}}=\widehat{B\text{D}C} $

Xét $ \Delta AB\text{D} $ và $ \Delta C\text{D}B $ có

$ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{CB\text{D}}=\widehat{B\text{D}A} \\ \widehat{AB\text{D}}=\widehat{B\text{D}C} \\ B\text{D}\,\,chung \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AB\text{D}=\Delta C\text{D}B(g.c.g)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB=C\text{D} \\ A\text{D}=BC \end{array} \right. $

Câu 6: Cho hình vẽ sau:

Kết luận nào sau đây không đúng ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác ABC có: $ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}\, $

$ \Rightarrow \,\widehat{C}={{180}^{o}}-\left( \widehat{A}+\widehat{B} \right)={{180}^{o}}-({{80}^{o}}+{{60}^{o}})={{40}^{o}} $ .

Xét tam giác MNP có: $ \widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}={{180}^{o}}\, $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{P}={{180}^{o}}-\left( \widehat{M}+\widehat{N} \right)={{180}^{o}}-\left( {{80}^{o}}+{{40}^{o}} \right)={{60}^{o}} $ .

Xét tam giác ABC và tam giác MPN có:

$ \widehat{A}=\widehat{M}={{80}^{o}} $ ; $ AC=MN $ (giả thiết) ; $ \widehat{C}=\widehat{N}={{40}^{o}} $

$ \begin{array}{l} \Rightarrow \,\,\Delta ABC=\Delta MPN\,(g.c.g) \\ \Rightarrow \,AB=MP\,;\,BC=NP. \end{array} $

Câu 7: Cho hình vẽ sau, trong đó: BM là tia phân giác của $ \widehat{ABC} $ .

Biết rằng $ \widehat{ABC}={{50}^{o}} $ ; $ \widehat{BAM}=\widehat{BCM}={{30}^{o}} $ . Khi đó có thể chứng minh $ \Delta ABM=\Delta CBM $ theo trường hợp nào sau đây ?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì BM là tia phân giác của $ \widehat{ABC} $ nên $ \widehat{ABM}=\widehat{CBM}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}{{.50}^{o}}={{25}^{o}} $ .

Xét tam giác ABM có: $ \widehat{BAM}+\widehat{ABM}+\widehat{AMB}={{180}^{o}}\, $

$ \Rightarrow \,\,\widehat{AMB}={{180}^{o}}-\left( \widehat{BAM}+\widehat{ABM} \right)={{180}^{o}}-\left( {{30}^{o}}+{{25}^{o}} \right)={{125}^{o}} $ .

Xét tam giác BCM có: $ \widehat{BMC}+\widehat{MBC}+\widehat{MCB}={{180}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\widehat{BMC}={{180}^{o}}-\left( \widehat{MBC}+\widehat{MCB} \right)={{180}^{o}}-\left( {{25}^{o}}+{{30}^{o}} \right)={{125}^{o}} $ .

Xét tam giác ABM và tam giác CBM có:

$ \widehat{ABM}=\widehat{CBM} $ ; Cạnh BM chung ; $ \widehat{AMB}=\widehat{CMB}={{125}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\Delta ABM=\Delta CBM\,(g.c.g). $

Câu 8: Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác của $ \widehat{BAC} $ (D thuộc BC). Nếu AD vuông góc với BC thì kết luận nào sau đây là sai?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

$ \widehat{BAD}=\widehat{CAD} $ (Vì AD là tia phân giác của $ \widehat{BAC} $ );

Cạnh AD chung;

$ \widehat{ADB}=\widehat{ADC}={{90}^{o}} $

$ \Rightarrow \,\,\Delta ABD=\Delta ACD $ (g.c.g)

$ \Rightarrow \,AB=AC\,;\,BD=CD\,;\,\widehat{B}=\widehat{C} $ .

Ta có: $ AD\bot BC,\,\,BD=CD $ $ \Rightarrow $ AD là đường trung trực của BC.

Câu 9: Cho hình vẽ sau, trong đó AM // BN, IM = IN.

Khẳng định nào sau đây là sai?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác AMI và tam giác BNI có:

$ \widehat{AIM}=\widehat{BIN} $ (đối đỉnh);

$ IM=IN $ (giả thiết);

$ \widehat{AMI}=\widehat{BNI} $ (so le trong do AM // BN)

$ \Rightarrow \,\Delta AMI=\Delta BNI\,(g.c.g) $

$ \Rightarrow \,AM=BN\,;\,AI=BI $

Vì $ AI=BI $ và I nằm giữa A và B nên I là trung điểm của AB.

Vì $ \,\Delta AMI=\Delta BNI $ nên hai tam giác AIM và BIN có diện tích bằng nhau.

Câu 10: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB. Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AC tại F. Nối A với E, B với F, E với F. Hỏi trong hình vẽ có bao nhiêu cặp tam giác bằng nhau?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Vì BF // AB nên $ \widehat{ABC}=\widehat{CEF} $ (so le trong).

Xét tam giác ABC và tam giác FEC có:

$ \widehat{ABC}=\widehat{CEF} $ ; BC = CE (giả thiết) ; $ \widehat{ACB}=\widehat{FCE} $ (đối đỉnh).

$ \Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta FEC\,(g.c.g) $

$ \Rightarrow \,AC=CF. $

Xét tam giác ACE và tam giác BCF có:

AC = CF (chứng minh trên); CE = BC ; $ \widehat{ACE}=\widehat{BCF} $ (đối đỉnh)

$ \Rightarrow \,\,\Delta ACE=\Delta FCB\,(c.g.c) $

Xét tương tự ta có: $ \Delta ABE=\Delta FEB\,\,\,;\,\,\Delta AEF=\Delta FBA $ .

Vậy có 4 cặp tam giác bằng nhau.

Câu 11: Cho hình vẽ sau:

Nếu $ BE=\dfrac{1}{3}AB $ thì chu vi tam giác AFC bằng bao nhiêu?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $ \widehat{AEF}+\widehat{AEB}={{180}^{o}} $ (kề bù);

$ \widehat{AFE}+\widehat{AFC}={{180}^{o}} $ (kề bù);

Mà $ \widehat{AEF}=\widehat{AFE} $ (giả thiết)

$ \Rightarrow \,\,\widehat{AEB}=\widehat{AFC} $ .

Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:

$ \widehat{ABE}=\widehat{ACF} $ (giả thiết);

BE = CF (giả thiết);

$ \widehat{AEB}=\widehat{AFC} $

$ \Rightarrow \,\,\Delta ABE=\Delta ACF\,(g.c.g) $

$ \Rightarrow \,AC=AB=12\,cm\,;\,\,AF=AE=9\,cm\,;\, $

$ FC=BE=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{1}{3}.12=4cm. $

Vậy chu vi tam giác AFC là: $ AF+AC+FC=9+12+4=25\,(cm). $

Câu 12: Cho hình bên

Khẳng định sai

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét tam giác SKH có $ \widehat{SHK}+\widehat{SKH}+\widehat{K\text{S}H}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{SKH}={{50}^{o}} $

Tương tự ta có $ \widehat{HKI}={{50}^{o}} $

Xét $ \Delta SHK $ và $ \Delta IHK $ có $ \left\{ \begin{array}{l} \widehat{SHK}=\widehat{IHK} \\ \widehat{SKH}=\widehat{IKH} \\ HK\,\,chung \end{array} \right.\Rightarrow \Delta SHK=\Delta IHK\left( g.c.g \right) $

Nên KH là tia phân giác $ \widehat{SKI} $ ; HS=HI; SK= IK

Câu 13: Cho hình vẽ sau, trong đó $ AB\,//\,CD,\,\,AD\,//\,BC $ .

Hệ thức bằng nhau giữa hai tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng nào sau đây là đúng?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

+ Xét tam giác ABD và tam giác CDB có:

$ \widehat{ABD}=\widehat{BDC} $ (so le trong do AB // CD);

Cạnh BD chung;

$ \widehat{ADB}=\widehat{CBD} $ (so le trong do AD // BC)

$ \Rightarrow \,\,\Delta ABD=\Delta CDB\,(g.c.g) $ .

+ Xét tam giác ABC và tam giác CDA có:

$ \widehat{BAC}=\widehat{ACD} $ (so le trong do AB // CD);

Cạnh AC chung;

$ \widehat{ACB}=\widehat{DAC} $ (so le trong do AD // BC)

$ \Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta CDA\,(g.c.g) $ .

Câu 14: Chọn khẳng định sai.

Cho tam giác DEF có $ \widehat{\mathrm{E}}\mathrm{=}\widehat{\mathrm{F}} $ . Tia phân giác của góc D cắt EF tại I . Ta có

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét $ \Delta \text{DEF} $$ \widehat{\mathrm{E}}\mathrm{=}\widehat{\mathrm{F}} $ nên DE=DF nên $ \Delta \text{DEF} $ cân tại D

Mà DI là tia phân giác của $ \widehat{E\text{D}F}\Rightarrow \widehat{E\text{D}I}=\widehat{I\text{D}F} $ và DI là đường trung tuyến, đường cao của $ \Delta \text{DEF}\Rightarrow FI=EI $

Xét ∆ DIE và ∆ DIF có EI=FI; DE=DF; cạnh DI chung nên ∆ DIE = ∆ DIF

Câu 15: Cho $ \Delta $ ABC có $ \widehat{\text{B}}=\widehat{C} $ .Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Khẳng định đúng là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Cho $ \Delta $ ABC có $ \widehat{\text{B}}=\widehat{C} $ nên AC=AB

Do AD là tia phân giác của góc $ \widehat{BAC} $ nên $ \widehat{BA\text{D}}=\widehat{CA\text{D}} $

Xét $ \Delta AB\text{D} $ và $ \Delta AC\text{D} $ có

$ \widehat{BA\text{D}}=\widehat{CA\text{D}} $

$ \widehat{\text{B}}=\widehat{C} $

AB=AC

Nên $ \Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D} $ (g.c.g)

Câu 16: Cho góc nhọn xOy và K là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ KA vuông góc với Ox (A $ \in $ Ox), KB vuông góc với Oy ( B $ \in $ Oy). Khẳng định nào sai?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Xét \[ \Delta OBK \]\[ \Delta OAK \]

\[ \widehat{BOK}=\widehat{AOK} \] ( OK là phân giác góc xOy)

Cạnh OK chung;

\[ \widehat{KBO}=\widehat{K\text{A}O}={{90}^{o}} \]

\[ \Rightarrow \Delta OBK=\Delta OAK\Rightarrow \widehat{BK\text{O}}=\widehat{AK\text{O}} \] nên OK là phân giác góc AK \[ \Rightarrow OK\bot AB \]

Câu 17: Chọn câu trả lời đúng.

Nếu thêm điều kiện để hai tam giác trong hình vẽ bên là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Để $ \Delta FGE=\Delta GFH\left( g.c.g \right) $ thì $ \widehat{EGF}=\widehat{GFH}\Rightarrow EG\text{//}FH $