Tính chất ba đường cao của tam giác

Do $ \Delta ABC $ cân tại $ A $ mà $ AH $ là đường trung tuyến

$ \Rightarrow AH $ cũng đồng thời là đường cao

nên $ AH\bot BC $ mà $ AH\bot d $ nên $ d\text{//}BC $ .

Do $ \Delta ABC $ đều nên $ H $ vừa là trọng tâm, trực tâm $ \Delta ABC\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}.12=8 $ cm.

Do $ \Delta ABC $ đều nên $ H $ vừa là trọng tâm, trực tâm $ \Delta ABC $ $ \Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}AM\Rightarrow AM=\dfrac{3}{2}.AH=15cm. $

Ta có $ \widehat{B}={{180}^{0}}-\widehat{A}-\widehat{C}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta ABC $ vuông tại $ B $

Mà $ AB\bot BC=\left\{ B \right\}\Rightarrow B $ là trực tâm $ \Delta ABC $ .

Ta có: $ \Delta ABH=\Delta AHC $ (cạnh huyền-góc nhọn) $ \Rightarrow BH=HC=2,5cm. $

Áp dụng đị lý Py-ta-go vào $ \Delta AHC $ vuông tại H có: $ A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}\Rightarrow A{{H}^{2}}=6,{{5}^{2}}-2,{{5}^{2}}={{6}^{2}}\Rightarrow AH=6\left( cm \right). $

Ta có: $ {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}BE.AC=\dfrac{1}{2}CF.AB. $

Vì $ AB < AC $ nên $ BE > CF. $

Đặt $ AB=BC=a,HA=HC=m. $

Ta có: $ 2a+2m=50\Rightarrow a+m=25 $ (1)

Lại có: $ a+m+BH=40 $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ BH=15cm. $

$ \widehat{CID}={{70}^{0}};\widehat{CID}=\widehat{A} $ (cùng phụ $ \widehat{ACE} $ ) nên $ \widehat{A}={{70}^{0}}. $

Ta có: các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C gặp nhau ở K.

$ \Rightarrow $ AK là tia phân giác của góc A.

$ \Delta ADE $ có đường cao cũng là đường phân giác nên là tam giác cân.

Ta có: $ \Delta ABH=\Delta AHC $ (cạnh huyền-góc nhọn) $ \Rightarrow BH=HC=10:2=5cm. $

Áp dụng đị lý Py-ta-go vào $ \Delta AHC $ vuông tại H có: $ A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}\Rightarrow A{{H}^{2}}={{10}^{2}}-{{5}^{2}}=75\Rightarrow AH=\sqrt{75}\left( cm \right). $

$ \Delta ABC $ cân tại A, AK là tia phân giác của góc A nên AK cũng là đường cao.

$ \Delta ABC $ cân tại A hiển nhiên $ \widehat{ABC}=\widehat{ACB.} $

$ \Delta ABC $ có AK, BD là đường cao nên K là trực tâm. Vậy $ CK\bot AB. $

Trực tâm của tam giác vuông là đỉnh của góc vuông.

Vì OA=OB nên tam giác OAB cân tại O có OH là đường cao nên đồng thời là trung trực.

OH là đường trung trực của AB $ \Rightarrow HB=AB:2=6:2=3\left( cm \right). $

Ta có $ \Delta ABC $ cân tại $ A $ có $ AH $ là đường cao

Nên $ AH $ cũng đồng thời là đường trung tuyến.

Xét $ \Delta ABH $ có $ \widehat{AHB}={{90}^{0}} $ (do $ AH $ là đường cao)

Áp dụng định lí pytago ta có: $ A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}\Rightarrow AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}=\sqrt{A{{B}^{2}}-{{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4 $ cm.

Ta thấy $ \widehat{C}={{45}^{0}},\widehat{AED}={{45}^{0}} $ nên $ EK\bot BC. $

$ \Delta BEC $ có BA, EK là hai đường cao và cắt nhau ở D nên D là trực tâm tam giác ABC do đó $ CD\bot BE. $