Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giá

Trong một tam giác bộ ba cạnh có độ dài $ a,\,b,\,c $ thì phải thỏa mãn $ a < b+c $ .

Từ các phương án ta thấy: $ 4+3=7 $ nên bộ ba $ 4;7;3 $ không thể là ba cạnh của một tam giác. Còn các bộ ba cạnh còn lại đều thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Xét tam giác $ ABC $ có

$ \begin{array}{l} BC+AB > AC > BC-AB\Leftrightarrow 25+12 > AC > 25-12 \\ \Leftrightarrow 37 > AC > 13 \end{array} $

Mà $ \Delta ABC $ cân nên $ \left[ \begin{array}{l} AC=AB \\ AC=BC \end{array} \right. $

$ \Rightarrow AC=25 $ . Vậy tam giác $ ABC $ cân tại $ C $ .

Gọi a là độ dài cạnh lớn nhất của tam giác ABC, b và c là độ dài hai cạnh còn lại

$ (a\ge b\,;\,a\ge c) $ .

Theo bất đẳng thức tam giác: $ a < b+c. $

Cộng a vào hai vế: $ a+a < a+b+c\Rightarrow 2a < a+b+c\Rightarrow a < \dfrac{a+b+c}{2}. $

Vậy cạnh lớn nhất của một tam giác nhỏ hơn nửa chu vi tam giác.

Xét tam giác $ ABC $

Ta có $ AB+BC > AC > BC-AB\Leftrightarrow 14 > AC > 4 $

$ 14+5+9 > AC+AB+BC > 5+9+4\Leftrightarrow 28 > AC+AB+BC > 18 $

Vậy chu vi tam giác $ ABC $ phải lớn hơn 18cm và nhỏ hơn 28cm.

Mà chu vi tam giác $ ABC $ là bội của 6.

Vậy chu vi tam giác $ ABC $ là 24 cm.

Xét $ \Delta ADC:DC > AD-AC $ (theo bất đẳng thức tam giác).

Mà $ AB=AC $ (Vì $ \Delta ABC $ cân tại A).

Do đó: $ DC > AD-AB=DB. $

Ta có $ AB+AC > BC > \left| AB-AC \right|\Leftrightarrow 10+1 > BC > \left| 10-1 \right|\Leftrightarrow 11 > BC > 9 $

Mà độ dài cạnh $ BC $ là một số nguyên nên $ BC=10 $ .

Vậy tam giác $ ABC $ có $ AB=BC > AC\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{A} > \widehat{B} $ ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

Xét tam giác $ ABC $ ta có: $ \left| AB-BC \right| < CA < AB+BC $

$ \Rightarrow $ $ |27-3| < CA < 27+3\Rightarrow 24 < CA < 30. $

Mà độ dài CA là một số nguyên tố nên $ CA=29dm. $

Cạnh thứ ba của tam giác bằng một trong hai cạnh kia.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác: 

Loại trường hợp cạnh thứ ba bằng 3,9cm vì \[ 3,9+3,9 < 7,9. \]

Trường hợp cạnh thứ ba bằng 7,9cm thỏa mãn bất đẳng thức tam giác vì \[ 7,9 < 7,9+3,9. \]

Vậy chu vi tam giác là: \[ 7,9+7,9+3,9=19,7\left( cm \right). \]

Ta có $ RS+SK > KR > \left| RS-SK \right|\Leftrightarrow 8+1 > KR > \left| 8-1 \right|\Leftrightarrow 9 > KR > 7 $

độ dài cạnh $ KR $ là một số nguyên nên $ KR=8 $ .

Vậy chu vi tam giác $ RSK $ là $ 8+1+8\text{ }=17 $ .

Xét $ \Delta ABC $ có: $ \left| AB-BC \right| < AC < AB+BC\Leftrightarrow \left| 15-8 \right| < AC < 15+8\Leftrightarrow 7 < AC < 23. $

Mà $ AC > {{4}^{2}}=16 $ và AC là số nguyên tố (giả thiết) nên $ AC=17cm $ hoặc $ AC=19cm. $

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: $ a\le b\le c. $

Từ giả thiết, ta có: $ \dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}. $

Với $ a+b=20 $ , thì áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$ \dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}=\dfrac{a+b}{2+3}=\dfrac{20}{5}=4\Rightarrow c=16. $

Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $

Ta có $ B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} $

$ AB+AC > BC $ hay $ x+y > \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} $ .

Xét tam giác $ ABC $ ta có: $ \left| AB-AC \right| < BC < AB+AC $

$ \Rightarrow $ $ |1-3| < BC < 3+1\Rightarrow 2 < BC < 4\Rightarrow BC=3. $

Vậy $ BC=3m. $

- Xét trường hợp 1: $ a=2b,b=2c. $

Giả sử tồn tại tam giác như vậy thì độ dài ba cạnh là c, 2c, 4c, mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác, vì $ c+2c < 4c. $ Vậy không tồn tại tam giác như vậy.

- Xét trường hợp 2: $ a=\dfrac{3}{2}b,b=\dfrac{3}{2}c. $

Cho $ c=1\Rightarrow b=\dfrac{3}{2}\,\,;\, $ $ a=\dfrac{3}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{4}. $

Vì $ \dfrac{9}{4} < \dfrac{3}{2}+1 $ nên tồn tại tam giác.

Vậy có tồn tại tam giác trong trường hợp 2.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho $ MD=MA. $

$ \Delta DMC=\Delta AMB\left( c.g.c \right)\Rightarrow DC=AB=c. $

Xét $ \Delta ACD $ có $ AD < AC+DC\Rightarrow 2AM < b+c\Rightarrow AM < \dfrac{b+c}{2}. $