Tập hợp số thực
Lý thuyết về Tập hợp số thực
1. Định nghĩa số thực
+ Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực. Kí hiệu: $\mathbb{R}$
+ Nếu $a$ là số thực thì $a$ biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn.
+ Với $a,b$ là hai số thực dương, nếu $a>b$ thì $\sqrt{a}>\sqrt{b}$.
Ta có $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R};I\subset \mathbb{R}.$
Ví dụ: $0,25\in \mathbb{R};-3\in \mathbb{R};...$
2. Trục số thực
+ Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.
+ Mỗi điểm trên trục số biểu diễn một số thực.
3. Các phép toán
Trong tập hợp số thực $\mathbb{R}$, , ta cũng định nghĩa các phép toán cộng, trừ, nhân chia, lũy thừa và khai căn. Các phép toán trong tập hợp số thực cũng có các tính chất như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ.
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Số thực $ x $ nào sau đây thỏa mãn: $ 3,4.x+(-1,4).x+3,2=5,4 $ ?
- A
- B
- C
- D
$ 3,4.x+(-1,4).x+3,2=5,4 $
$ \left( 3,4-1,4 \right)x=5,4-3,2 $
$ 2x=2,2 $
$ x=2,2:2 $
$ x=1,1. $
Câu 2: So sánh nào sau đây là đúng ?
- A
- B
- C
- D
Ta có:
$ \sqrt{1\dfrac{9}{16}}=\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{5}{4} \right)}^{2}}}=\dfrac{5}{4}=1,25 < \sqrt{3} $ .
$ 7\dfrac{1}{4}-{{\left( -4,5 \right)}^{2}}=\dfrac{29}{4}-\dfrac{81}{4}=-\dfrac{52}{4}=-13=-\sqrt{169} < -\,\sqrt{150} $ .
$ \sqrt{\dfrac{4}{9}}+\sqrt{121}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{11}^{2}}}=\dfrac{2}{3}+11=0,(6)+11=11,(6)\, < \,12,2(3) $ .
$ \sqrt{{{(0,5)}^{2}}+{{(1,2)}^{2}}}=\sqrt{0,25+1,44}=\sqrt{1,69}=1,3=\dfrac{13}{10}=1\dfrac{3}{10} $ .
Câu 3: Cho các số sau: $ \sqrt{125}\,\,;\,\,11,12\,\,;\,\,11\dfrac{2}{3}\,;\,\,\sqrt{123,21}\,;\,\,11,\,(1) $ . Số nhỏ nhất là:
- A
- B
- C
- D
Ta có: $ \sqrt{125}\,\approx 11,18 $ ; $ 11\dfrac{2}{3}=11+0,(6)=11,(6) $ ; $ \sqrt{123,21}=\sqrt{11,{{1}^{2}}}=11,1 $ .
Vì $ 11,1 < \,11,(1)\, < \,11,12 < 11,18 < 11,(6) $ nên trong các số đã cho số nhỏ nhất là: $ \sqrt{123,21} $
Câu 4: Cho số thực $ x $ thỏa mãn: $ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{x}{2,5} $ . Khi đó:
- A
- B
- C
- D
$ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{x}{2,5} $
$ \left( x-1 \right).2,5=2x $
$ 2,5x-2x=2,5 $
$ 0,5x=2,5 $
$ x=5. $
Câu 5: Thực hiện phép tính: $ 12,5:\left( 3\dfrac{1}{2}-1\dfrac{2}{3}.1,35+7,5 \right) $ ta được kết quả là:
- A
- B
- C
- D
$ 12,5:\left( 3\dfrac{1}{2}-1\dfrac{2}{3}.1,35+7,5 \right) $
$ =\dfrac{25}{2}:\left( \dfrac{7}{2}-\dfrac{5}{3}.\dfrac{27}{20}+\dfrac{15}{2} \right) $
$ =\dfrac{25}{2}:\left( \dfrac{7}{2}-\dfrac{9}{4}+\dfrac{15}{2} \right) $
$ =\dfrac{25}{2}:\dfrac{35}{4} $
$ =\dfrac{10}{7} $
Câu 6: Cho số thực $ x $ thỏa mãn $ 1,(1)-\dfrac{1}{3}\sqrt{x}=0 $ . Khi đó: $ 9x $ bằng:
- A
- B
- C
- D
$ 1,(1)-\dfrac{1}{3}\sqrt{x}=0 $
$ \dfrac{10}{9}-\dfrac{1}{3}\sqrt{x}=0 $
$ \sqrt{x}=\dfrac{10}{9}:\dfrac{1}{3} $
$ \sqrt{x}=\dfrac{10}{3} $
$ x={{\left( \dfrac{10}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{100}{9} $
$ \Rightarrow 9x=100. $
Câu 7: Cho các khẳng định sau: (1) Nếu $ a $ là số hữu tỉ thì $ a $ cũng là số thực.
(2) Nếu $ a $ là số thực thì $ a $ là một số vô tỉ.
(3) Nếu $ a $ là số tự nhiên thì $ a $ là số hữu tỉ.
(4) Nếu $ a $ là số vô tỉ thì $ a $ không là số hữu tỉ.
Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng ?
(1) Nếu $ a $ là số hữu tỉ thì $ a $ cũng là số thực.
(2) Nếu $ a $ là số thực thì $ a $ là một số vô tỉ.
(3) Nếu $ a $ là số tự nhiên thì $ a $ là số hữu tỉ.
(4) Nếu $ a $ là số vô tỉ thì $ a $ không là số hữu tỉ.
Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng ?
- A
- B
- C
- D
Với $ \mathbb{N} $ là tập hợp các số tự nhiên, $ \mathbb{Q} $ là tập hợp các số hữu tỉ, $ I $ là tập hợp số vô tỉ, $ \mathbb{R} $ là tập hợp số thực.
Ta có: $ \mathbb{N}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R} $ ; $ I\subset \mathbb{R} $ và $ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \,I $ ; $ \mathbb{Q}\cap I=\varnothing $ .
Do đó các khẳng định đúng là: (1) ; (3) ; (4).
Khẳng định sai là: (2)
Câu 8: Cho số thực $ x $ thỏa mãn: $ 2x-0,(4)=\sqrt{\dfrac{4}{9}}-\sqrt{{{(-3)}^{2}}} $ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
- A
- B
- C
- D
$ 2x-0,(4)=\sqrt{\dfrac{4}{9}}-\sqrt{{{(-3)}^{2}}} $
$ 2x-\dfrac{4}{9}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}}-3 $
$ 2x-\dfrac{4}{9}=\dfrac{2}{3}-3 $
$ 2x-\dfrac{4}{9}=-\dfrac{7}{3} $
$ 2x=-\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{9} $
$ 2x=-\dfrac{17}{9} $
$ x=-\dfrac{17}{9}:2 $
$ x=-\dfrac{17}{18}. $
Câu 9: Giá trị của biểu thức: $ \left( 1\dfrac{1}{3}.1,5-1,(3):4 \right).\left( \sqrt{\dfrac{9}{25}}-\dfrac{1}{5} \right) $ là:
- A
- B
- C
- D
$ \left( 1\dfrac{1}{3}.1,5-1,(3):4 \right).\left( \sqrt{\dfrac{9}{25}}-\dfrac{1}{5} \right) $
$ =\left( \dfrac{4}{3}.\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{3}:4 \right).\left( \sqrt{{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{5} \right) $
$ =\left( 2-\dfrac{1}{3} \right).\left( \dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5} \right) $
$ =\dfrac{5}{3}.\dfrac{2}{5} $
$ =\dfrac{2}{3}. $
Câu 10: Số thực $ x $ thỏa mãn: $ \dfrac{2}{3}\left( x-1 \right)-4,5=7,5:3 $ là:
- A
- B
- C
- D
$ \dfrac{2}{3}\left( x-1 \right)-4,5=7,5:3 $
$ \dfrac{2}{3}\left( x-1 \right)-4,5=2,5 $
$ \dfrac{2}{3}\left( x-1 \right)=2,5+4,5 $
$ \dfrac{2}{3}\left( x-1 \right)=7 $
$ x-1=7:\dfrac{2}{3} $
$ x-1=\dfrac{21}{2} $
$ x=11,5. $