Tổng của n số hạng

Ta có $ { a ^ 2 };{ b ^ 2 };{ c ^ 2 } $ lập thành một cấp số cộng.

$ \begin{align} & \Leftrightarrow 2{ b ^ 2 }={ a ^ 2 }+{ c ^ 2 }\Leftrightarrow { b ^ 2 }-{ a ^ 2 }={ c ^ 2 }-{ b ^ 2 } \\ & \Leftrightarrow \dfrac{b-a}{\left( c+a \right)\left( b+c \right)}=\dfrac{c-b}{\left( a+b \right)\left( c+a \right)} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{{}c+a}-\dfrac{1}{{}b+c}=\dfrac{1}{{}a+b}-\dfrac{1}{{}c+a} \\ \end{align} $

Dãy số $ \dfrac{1}{{}b+c};\dfrac{1}{{}c+a};\dfrac{1}{{}a+b} $ là một cấp số cộng

Gọi $ d =2a $ là công sai. Bốn số phải tìm là: $ A=\left( x3a \right);B=\left( xa \right);C=\left( x+a \right);D=\left( x+3a \right) $ . Ta có hệ phương trình:

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 3a} \right) + \left( {x - a} \right) + \left( {x + a} \right) + \left( {x + 3a} \right) = {360^0}\\
\left( {x + 3a} \right) = 5\left( {x - 3a} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {90^0}\\
a = {20^0}
\end{array} \right.
\end{array}\]

Bốn góc phải tìm là: $ A={{30}^ 0 };B={{70}^ 0 };C={{110}^ 0 };D={{150}^ 0 } $

Ta có: $ { S _ n }=2{ u _ 1 }+\left( n1 \right){ d _ 1 } $ và $ { T _ n }=2{ v _ 1 }+\left( n1 \right){ d _ 2 } $ nên

$ \begin{align} & \dfrac{{ S _ n }}{{ T _ n }}=\dfrac{2{ u _ 1 }+(n-1){ d _ 1 }}{2{ v _ 1 }+(n-1){ d _ 2 }}=\dfrac{7n+1}{4n+27}\begin{matrix} {} & \left( 1 \right) \\ \end{matrix} \\ & \dfrac{{ u _{11}}}{{ v _{11}}}=\dfrac{{ u _ 1 }+10{{ d }_ 1 }}{{ v _ 1 }+10{{ d }_ 2 }}=\dfrac{2{ u _ 1 }+20{{ d }_ 1 }}{2{ v _ 1 }+20{{ d }_ 2 }}\begin{matrix} {} & \left( 2 \right) \\ \end{matrix} \\ \end{align} $

So sánh (1) và (2) $ \Rightarrow n=21 $ nên $ \dfrac{{ u _{11}}}{{ v _{11}}}=\dfrac{148}{111}=\dfrac{4}{3} $

Theo giả thiết: $ { a ^ 2 },{ b ^ 2 },{ c ^ 2 } $ lập thành một cấp số cộng

$ \begin{align} & \Leftrightarrow { a ^ 2 }+{ c ^ 2 }=2{ b ^ 2 } \\ & \Leftrightarrow { a ^ 2 }-{ b ^ 2 }={ b ^ 2 }-{ c ^ 2 } \\ & \Leftrightarrow (a-b)(a+b)=(b-c)(b+c) \\ & \Leftrightarrow \dfrac{a-b}{b+c}=\dfrac{b-c}{a+b} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{c+a-b-c}{b+c}=\dfrac{a+b-c-a}{a+b} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{{}b+c}-\dfrac{1}{{}c+a}=\dfrac{1}{{}c+a}-\dfrac{1}{{}a+b} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{{}b+c}+\dfrac{1}{{}a+b}=\dfrac{2}{{}c+a} \\ \end{align} $

$ \Rightarrow x=2 $.

Ta có $ {{u}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}=9-4n\Rightarrow {{u}_{3}}=-3;{{u}_{5}}=-11;{{u}_{7}}=-19. $

Do đó $ P=491 $ .

Ta có. $ {{u}_{1}}={{S}_{1}}=1 $ và $ {{u}_{1}}+{{u}_{2}}={{S}_{2}}=8\Rightarrow {{u}_{2}}=7 $.
Vậy $ d={{u}_{2}}-{{u}_{1}}=6\Rightarrow {{u}_{10}}=1+9. 6=55 $.

Từ giả thiết bài toán, ta có: $ \left\{ \begin{align} & { u _ 1 }+4d+3({ u _ 1 }+2d)-({ u _ 1 }+d)=-21 \\ & 3({ u _ 1 }+6d)-2({ u _ 1 }+3d)=-34 \\ \end{align} \right. $

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 3d =  - 7\\
{u_1} + 12d =  - 34
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
d =  - 3
\end{array} \right.\]

Tổng của 15 số hạng đầu: $ { S _{15}}=\dfrac{15} 2 \left[ 2{ u _ 1 }+14d \right]=-285 $

Ta có. $ {{u}_{1}}+2{{u}_{5}}=0\Leftrightarrow 3{{u}_{1}}+8d=0 $
$ {{S}_{4}}=14\Rightarrow \dfrac{4\left( 2{{u}_{1}}+3d \right)}{2}=14\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+3d=7 $
Từ đây ta có hệ phương trình. $ \left\{ \begin{array}{l}
3{{u}_{1}}+8d=0 \\
2{{u}_{1}}+3d=7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{u}_{1}}=8 \\
d=-3
\end{array} \right. $
Số \({{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d\)

$\Rightarrow 8+\left( n-1 \right)\left( -3 \right)=-40\Leftrightarrow n-1=16\Leftrightarrow n=17$

\({{u}_{n}}\) là cấp số cộng nên ta có : \({{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right).d\Rightarrow {{u}_{5}}={{u}_{1}}+4d=12\)
\({{S}_{n}}=n.{{u}_{1}}+\dfrac{n(n-1)d}{2}\Rightarrow {{S}_{21}}= 21.{{u}_{1}}+\dfrac{21.21.d}{2}=504\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 4d = 12\\ 42{u_1} + 420d = 1008 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 4\\ d = 2 \end{array} \right.\)

Ta có. $ {{u}_{1}}+2{{u}_{5}}=0\Leftrightarrow 3{{u}_{1}}+8d=0 $
$ {{S}_{4}}=14\Rightarrow \dfrac{4\left( 2{{u}_{1}}+3d \right)}{2}=14\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+3d=7 $
Từ đây ta có hệ phương trình. $ \left\{ \begin{array}{l}
3{{u}_{1}}+8d=0 \\
2{{u}_{1}}+3d=7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{u}_{1}}=8 \\
d=-3
\end{array} \right. $

Ta có:

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{u_n} - {u_1} = \left( {n - 1} \right)d\\
{u_n} + {u_1} = \dfrac{{2{S_n}}}{n}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_5} - {u_1} = 4.0,1\\
{u_5} + {u_1} =  - 0,2
\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} =  - 0,3.
\end{array}\]

Áp dụng công thức: $ {{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d $ , ta có: $ \left\{ \begin{array}{l} {{u}_{5}}=-\,15 \\ {{u}_{20}}=60 \end{array} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{u}_{1}}+4d=-\,15 \\ {{u}_{1}}+19d=60 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{u}_{1}}=-\,35 \\ d=5 \end{array} \right. $ .

Áp dụng công thức: $ {{S}_{n}}=n.{{u}_{1}}+\dfrac{n\left( n-1 \right)d}{2} $ $ \Rightarrow {{S}_{20}}=20.\left( -35 \right)+\dfrac{20.19.5}{2}=250 $ .

Ta có. $ {{u}_{1}}={{S}_{1}}=1 $ và $ {{u}_{1}}+{{u}_{2}}={{S}_{2}}=8\Rightarrow {{u}_{2}}=7 $
Vậy $ d={{u}_{2}}-{{u}_{1}}=6\Rightarrow {{u}_{100}}=1+99. 6=595 $

Ta có: $ \left\{ \begin{align} & { S _ n }=\dfrac{n\left( { u _ 1 }+{ u _ n } \right)} 2 \\ & d=\dfrac{{ u _ n }-{ u _ 1 }}{n-1} \\ \end{align} \right. $

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_8} = \frac{{2{S_8}}}{8}\\
{u_8} - {u_1} = 7d
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_8} + {u_1} = 18\\
{u_8} - {u_1} =  - 14
\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} = 16\]

Ta có $ {{u}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}=9-4n\Rightarrow {{u}_{1}}=5;{{u}_{2}}=1$.

$\Rightarrow d=-4\Rightarrow {{S}_{50}}=50. 5+\dfrac{50. \left( 50-1 \right). \left( -4 \right)}{2}=-4650 $.

Ta có $ {{u}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}=9-4n\Rightarrow {{u}_{1}}=5;{{u}_{2}}=1\Rightarrow d=-4 $.
Tổng của $ n $ số hạng đầu tiên. $ -204=5. n+\dfrac{n\left( n-1 \right). \left( -4 \right)}{2}\Rightarrow 2{{n}^{2}}-7n-204=0\Rightarrow n=12 $.

Giả sử cấp số cộng $ \left( {{u}_{n}} \right) $ có số hạng đầu là $ {{u}_{1}} $ và công sai $ d $ .
Ta có $ \left\{ \begin{array}{1}
& {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\
& 2{{u}_{3}}-{{u}_{9}}=-11 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{1}
& \left( {{u}_{1}}+3d \right)+\left( {{u}_{1}}+5d \right)=26 \\
& 2\left( {{u}_{1}}+2d \right)-\left( {{u}_{1}}+8d \right)=-11 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{1}
& 2{{u}_{1}}+8d=26 \\
& {{u}_{1}}-4d=-11 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{1}
& {{u}_{1}}=1 \\
& d=3 \\
\end{array} \right. $ .
Vậy $ {{S}_{2020}}=\dfrac{2020}{2}\left( 2.1+2019.3 \right)=6119590 $ .

\({{u}_{n}}\) là cấp số cộng với \({{u}_{1}}=321\) và công sai \(d=-3\) .
\(Q= {{u}_{51}}+ {{u}_{52}}+\ldots .+ {{u}_{125~}}= {{S}_{125}} {{S}_{50}}=16875 12375=4500\) .
Ta có: \({{S}_{n}}=n{{u}_{1}}+\dfrac{n(n-1)d}{2}\)

\(\Rightarrow {{S}_{125}}=125.321+\dfrac{125.124.(-3)}{2}=16875\)
\({{S}_{50}}= 50. 321+\dfrac{50.49.(-3)}{2}=12375\)

Ta có: $ { S _ n }=\dfrac{n\left[ 2{ u _ 1 }+\left( n-1 \right)d \right]} 2 $ $ \Leftrightarrow 2.483=n.\left( 2.-1+\left( n-1 \right).2 \right)\Leftrightarrow { n ^ 2 }-2n-483=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n=23 \\ & n=-21 \\ \end{align} \right. $

Do $ n\in { N ^ * }\Rightarrow n=23 $ .

Gọi d là công sai. Ba số phải tìm là: $ \left( xd \right);x;\left( x+d \right) $ . Ta có hệ phương trình:

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
(x - d) + x + (x + d) = 9\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{\left( 1 \right)}
\end{array}\\
{(x - d)^2} + {x^2} + {(x + d)^2} = 125\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\left( 2 \right)}
\end{array}
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3\\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {(3 - d)^2} + {3^2} + {(3 + d)^2} = 125 \Leftrightarrow d =  \pm 7
\end{array}\]

Ta có $ {{u}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}=9-4n\Rightarrow {{u}_{1}}=5;{{u}_{2}}=1\Rightarrow d=-4 $

Ta có. $ {{u}_{1}}={{S}_{1}}=1 $ và $ {{u}_{1}}+{{u}_{2}}={{S}_{2}}=8\Rightarrow {{u}_{2}}=7 $
Vậy $ d={{u}_{2}}-{{u}_{1}}=6\Rightarrow 337=1+\left( n-1 \right). 6$

$\Leftrightarrow n-1=56\Leftrightarrow n=57 $

Ta có \[ { u _{n+1}}-{ u _ n }\text{=2 }\forall n\in {{\mathbb N }^ * } \] \[ \Rightarrow \] đáp án sai là: \[ \left( { u _ n } \right) \] là cấp số cộng có \[ d=5 \]

Ta có công sai của cấp số cộng là $ d=\dfrac{{{u}_{3}}-{{u}_{15}}}{3-15}=\dfrac{84}{-12}=-7 $
$ 18=n. 123-7\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}\Rightarrow 7{{n}^{2}}-253n+36=0\Rightarrow n=36 $.

Ta có. $ {{u}_{4}}={{u}_{1}}+3d=-3. $
$ {{S}_{9}}=45\Leftrightarrow \dfrac{9\left[ 2{{u}_{1}}+8d \right]}{2}=45\Leftrightarrow {{u}_{1}}+4d=5 $
Do đó ta có hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l}
{{u}_{1}}+3d=-3 \\
{{u}_{1}}+4d=5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{u}_{1}}=-27 \\
d=8
\end{array} \right. $

$\Rightarrow {{S}_{10}}=\dfrac{10. \left[ 2{{u}_{1}}+9d \right]}{2}=90,{{S}_{20}}=\dfrac{20\left[ 2{{u}_{1}}+19d \right]}{2}=980 $.

Ta có. $ {{u}_{1}}={{S}_{1}}=1 $ và $ {{u}_{1}}+{{u}_{2}}={{S}_{2}}=8\Rightarrow {{u}_{2}}=7 $
Vậy $ d={{u}_{2}}-{{u}_{1}}=6\Rightarrow {{S}_{50}}=50. 1+\dfrac{50. \left( 50-1 \right). 6}{2}=7400 $

Ta có.
$ \begin{array}{l}
{{u}_{3}}+{{u}_{13}}=80\Leftrightarrow \left( {{u}_{1}}+2d \right)+\left( {{u}_{15}}-2d \right)=80\Leftrightarrow {{u}_{1}}+{{u}_{15}}=80 \\
\Rightarrow {{S}_{15}}=\dfrac{15\left( {{u}_{1}}+{{u}_{15}} \right)}{2}=600.
\end{array} $

Cấp số cộng $ 1,7,13,... x $ có số hạng đầu $ {{u}_{1}}=1 $ và công sai $ d=6 $ nên số hạng tổng quát là $ {{u}_{n}}=6n-5. $
Giả sử $ x={{u}_{n}}=6n-5. $ Khi đó
$ 1+7+13+... +x=\dfrac{n\left( 6n-4 \right)}{2}=3{{n}^{2}}-2n $
Theo giả thiết, ta có
$ 3{{n}^{2}}-2n=280\Rightarrow n=10\Rightarrow x={{u}_{10}}=55. $

\({{u}_{n}}\) là cấp số cộng nên ta có : \({{u}_{n}}= {{u}_{1}}+ \left( n-1 \right).d\) \({{u}_{4}}+ {{u}_{97}}= 101\Leftrightarrow {{u}_{1}}+ 3d +{{u}_{1}}+96d=101\Leftrightarrow {{u}_{1}}~+ {{u}_{1}}+99d =101\Leftrightarrow {{u}_{1}}+{{u}_{100}}=101\)
Có : \({{S}_{n}}=\dfrac{({{u}_{1}}+{{u}_{n}}).n}{2}\) \(\Rightarrow {{S}_{100}}=\dfrac{101.100}{2}=5050\)

Cấp số cộng $ 3,8,13,.... $ có số hạng đầu $ {{u}_{1}}=3 $ công sai $ d=5. $
Suy ra $ 2018 $ là số hạng thứ $ \dfrac{2018-3}{5}+1=404 $ của cấp số cộng.
Do đó.\[S = {S_{404}} = \dfrac{{404\left( {3 + 2018} \right)}}{2} = 408242.\]

Ta có. $ {{u}_{1}}+2{{u}_{5}}=0\Leftrightarrow 3{{u}_{1}}+8d=0 $
$ {{S}_{4}}=14\Rightarrow \dfrac{4\left( 2{{u}_{1}}+3d \right)}{2}=14\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+3d=7 $
Từ đây ta có hệ phương trình. $ \left\{ \begin{array}{l}
3{{u}_{1}}+8d=0 \\
2{{u}_{1}}+3d=7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{u}_{1}}=8 \\
d=-3
\end{array} \right. $
Số hạng thứ 100 là. $ {{u}_{100}}={{u}_{1}}+99d=8+99\left( -3 \right)=-289 $

\({{u}_{n}}\) là cấp số cộng với \({{u}_{1}}=321\) và công sai \(d=-3\) .

\[Q = {u_{51}} + {u_{52}} +  \ldots . + {u_{125\;}} = {S_{125}} - {S_{50}}\]

Ta có:

\[{{S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n(n - 1)d}}{2}}\]
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{S_{125}} = 125.321 + \dfrac{{125.124.( - 3)}}{2} = 16875\\
{S_{50}} = 50.321 + \dfrac{{50.49.( - 3)}}{2} = 12375
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow Q = {S_{125}} - {S_{50}} = 4500.
\end{array}\]