Hai cách xét tính tăng giảm của dãy số
1. Cách 1: Xét hiệu Sn=un+1−un(n∈N∗).
Ví dụ: Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số (un) cho bởi công thức un=n+1n+2
Xét hiệu:
Sn=un+1−un=n+2n+3−n+1n+2=1(n+2)(n+3)>0∀n∈N∗⇒un+1>un∀n∈N∗
Vậy ta có dãy (un) là dãy số tăng.
2. Cách 2: Nếu dãy (un) không đổi dấu (chỉ âm hoặc chỉ dương) với mọi số nguyên dương n thì ta có thể khảo sát dãy số đã cho bằng cách xét tỉ số Tn=un+1un.
Ví dụ 2: khảo sát tính tăng giảm của dãy số (vn) cho bởi hệ thức truy hồi vn+1=√v2n+1∀n≥1 với v1=2.
Ta dễ thấy rằng dãy số đã cho thỏa mãn vn>0∀n≥1. Xét tỉ số:
Tn=vn+1vn=√v2n+1vn=√1+1v2n>1∀n∈N∗⇒vn+1>vn>0∀n∈N∗
Vậy ta có dãy (vn) là dãy số tăng.
Chú ý: Với hình thức thi trắc nghiệm, ta có thể kiểm tra nhanh bằng cách tính cụ thể một số giá trị của dãy, từ đó quan sát và đưa ra dự đoán dãy tăng hay giảm. Nhưng để an toàn vẫn nên làm theo một trong hai cách trên. Chẳng hạn như trong ví dụ 1, ta có u1=23<u2=34<u3=45<⋯ nên ta dự đoán dãy đã cho là dãy tăng.
Dãy (1): Xétun+1un=n+13n+1:n3n=n+13n<1∀n⇒Dãy (1) là dãy giảm.
Dãy (2): an=3n+7n+1=3+4n+1 .
Xét an+1−an=−4(n+2)(n+1)<0∀n => Dãy (2) là dãy giảm.
Dãy (3) : bn=2n−12n=1−12n.
Xét: bn+1−bn=12n+1>0∀n => Dãy (3) tăng.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới