Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số

Hai cách xét tính tăng giảm của dãy số

1. Cách 1: Xét hiệu $S_n = u_{n + 1} - u_n (n \in \mathbb{N^*})$.

• Nếu \[{S_n} > 0 \Rightarrow \] dãy tăng.
• Nếu \[{S_n} > 0 \Rightarrow \] dãy giảm.

Ví dụ:  Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ cho bởi công thức $u_n = \dfrac{n + 1}{n + 2}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l} S_n = u_{n + 1} - u_n = \dfrac{n+2}{n + 3} - \dfrac{n + 1}{n + 2} = \dfrac{1}{(n + 2)(n+3)} > 0 \forall n \in \mathbb{N^*}\\ \Rightarrow u_{n + 1} > u_n \forall n \in \mathbb{N^*} \end{array}$

Vậy ta có dãy $(u_n)$ là dãy số tăng.

2. Cách 2: Nếu dãy $(u_n)$ không đổi dấu (chỉ âm hoặc chỉ dương) với mọi số nguyên dương $n$ thì ta có thể khảo sát dãy số đã cho bằng cách xét tỉ số $T_n = \dfrac{u_{n + 1}}{u_n}$.

• Nếu \[{T_n} > 1 \Rightarrow \] dãy tăng.
• Nếu \[{T_n} < 1 \Rightarrow \] dãy giảm.

Ví dụ 2: khảo sát tính tăng giảm của dãy số $(v_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi $v_{n + 1}  =\sqrt{v_n^2 + 1} \forall n \ge 1$ với $v_1 = 2$.

Ta dễ thấy rằng dãy số đã cho thỏa mãn $v_n > 0 \forall n \ge 1$. Xét tỉ số:

$\begin{array}{l} T_n = \dfrac{v_{n + 1}}{v_n} = \dfrac{\sqrt{v_n^2 + 1}}{v_n} = \sqrt{1 + \dfrac{1}{v_n^2}} > 1 \forall n \in \mathbb{N^*}\\ \Rightarrow v_{n + 1} > v_n > 0 \forall n \in \mathbb{N^*} \end{array}$

Vậy ta có dãy $(v_n)$ là dãy số tăng.

Chú ý: Với hình thức thi trắc nghiệm, ta có thể kiểm tra nhanh bằng cách tính cụ thể một số giá trị của dãy, từ đó quan sát và đưa ra dự đoán dãy tăng hay giảm. Nhưng để an toàn vẫn nên làm theo một trong hai cách trên. Chẳng hạn như trong ví dụ 1, ta có $u_1 = \dfrac{2}{3} < u_2 = \dfrac{3}{4} < u_3 = \dfrac{4}{5} < \cdots$ nên ta dự đoán dãy đã cho là dãy tăng.