Tìm hệ số trong khai triển

Tìm hệ số của ${{x}^{\alpha }}$ trong khai triển nhị thức Newton

Bước 1: Khai triển ${{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]}^{n}}$ dưới dạng nhị thức hoặc dạng khai triển

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi, thu gọn lũy thừa, viết số hạng tổng quát của khai triển

${{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{f\left( k \right)}}{{x}^{g\left( k \right)}}$ chính là số hạng thứ $k+1$.

Bước 3: Cho $g\left( k \right)=\alpha \Rightarrow k$. Từ đó

• Hệ số của ${{x}^{\alpha }}$ là $C_{n}^{k}{{a}^{f\left( k \right)}}$
• Số hạng chứa ${{x}^{\alpha }}$ là $C_{n}^{k}{{a}^{f\left( k \right)}}{{x}^{g\left( k \right)}}$
• Số hạng thứ $t$ ứng với $k=t-1$ (không cần giải $g\left( k \right)=\alpha $)

Chú ý: Số hạng không chứa $x$ trong khai triển tức là $g\left( k \right)=0$

Ví dụ: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển nhị thức Newton của ${{\left( \dfrac{2}{{{x}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{5}}} \right)}^{n}}$, với $x>0$ . Biết rằng: $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)$

Giải

Trước hết ta tìm n từ hệ thức:

$C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7\left( n+3 \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left( n+4 \right)!}{3!\left( n+1 \right)!}-\dfrac{\left( n+3 \right)!}{3!n!}=7\left( n+3 \right)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}}{6} - \dfrac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{6} = 7\left( {n + 3} \right)\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{n^2} + 6n + 8}}{6} - \dfrac{{{n^2} + 3n + 2}}{6} = 7\\
 \Leftrightarrow n = 12
\end{array}$

Ta có: \[{\left( {\dfrac{2}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^{12}} = {\left( {2{x^{ - 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{\left( {2{x^{ - 3}}} \right)}^k}{{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)}^{12 - k}}} \]

 \[ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{2^k}{x^{ - 3k + \frac{{60 - 5k}}{2}}} = } \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{2^k}{x^{\frac{{60 - 11k}}{2}}}} \]

\[ \Rightarrow \dfrac{{60 - 11k}}{2} = 8 \Rightarrow k = 4\]

Vậy số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển ứng với $k=4$, do đó hệ số của nó là ${{2}^{4}}C_{12}^{4}=7920$