Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ
Lý thuyết về Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ
1. Định nghĩa
Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}$
Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ thường được kí hiệu là T hoặc ${{T}_{\overrightarrow{u}}}$, vecto $\overrightarrow{u}$ được gọi là vectơ tịnh tiến
2. Các tính chất của phép tịnh tiến
Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm $M$ và $N$ lần lượt thành hai điểm $M’$ và $N’$ thì $M′N′=MN$.
Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
3. Biều thức tọa độ của phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$. Biết tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là $(a ; b)$. Giả sử điểm $M(x ; y)$ biến thành điểm $M’(x’ ; y’)$
Khi đó ta có $\left\{ \begin{align}& x'=x+a \\ & y'=y+b \\ \end{align} \right.$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho \[\Delta ABC\] có \[A\left( 2;4 \right),B\left( 5;1 \right),C\left( -1;-2 \right)\]. Phép tịnh tiến \[{{T}_{\overrightarrow{BC\,}}}\] biến \[\Delta ABC\] thành \[\Delta A'B'C'\]. Tọa độ trọng tâm của \[\Delta A'B'C'\] là
- A
- B
- C
- D
\({T_{\vec v}}G(2;1) = G'\left( {x';y'} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' - 2 = - 6\\ y' - 1 = - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' = - 4\\ y' = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow G'\left( { - 4; - 2} \right)\)
Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $d:3x-2y+4=0$ . Để phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}\left( \overrightarrow{v}\ne 0 \right)$ biến $d$ thành chính nó thì $\overrightarrow{v}$ có tọa độ là:
- A
- B
- C
- D
Để biến $d$ thành chính nó thì $\overrightarrow{v}$ phải là vectơ chỉ phương của d. Một vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{v}\left( 2;3 \right)$
Câu 3: Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho $2$điểm $A\left( 1;6 \right),B\left( -1;-4 \right)$. Gọi $C,D$ lần lượt là ảnh của $A$ và $B$ qua phép tịnh tiến theo vector $\overrightarrow{v}=\left( 1;5 \right)$ . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng
- A
- B
- C
- D
Câu 4: Trong hệ tục \(Oxy\) cho \(M\left( 0;2 \right)\) và \(N\left( -2;1 \right)\), \[\overrightarrow{v}{ }(1;2)\]. Phép \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\] biến \(M,N\) thành $M',N'$ thì độ dài $M'N'$ là
- A
- B
- C
- D
Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ
${{T}_{\overrightarrow{v}}}:MN=M'N'$ => độ dài \(M'N'=\sqrt{5}\).
Câu 5: Cho điểm $ M\left( 1;2 \right) $ và $ \overrightarrow{v}=\left( 2;1 \right) $ . Tọa độ điểm $ M' $ là ảnh của điểm $ M $ qua phép tịnh tiến $ \overrightarrow{v} $ là
- A
- B
- C
- D
$ M'\left( a;b \right) $ $ \Rightarrow \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\Leftrightarrow \left( a-1;b-2 \right)=\left( 2;1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a-1=2 \\ b-2=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=3 \\ b=3 \end{array} \right. $ .
Câu 6: Trong mặt phẳng \(Oxy,\)ảnh của đường tròn ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=16$ qua phép tịnh tiến theo vector $\overrightarrow{v}=\left( 1;3 \right)$ là đường tròn có phương trình
- A
- B
- C
- D
Phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}=\left( 1;3 \right)$biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
\(\begin{array}{l} {T_{\vec v}}:I(2;1) \to I'(x;y) \Rightarrow \overrightarrow {II'} = \vec v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2 = 1\\ y - 1 = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 4 \end{array} \right. \Rightarrow I'(3;4)\\ \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16. \end{array}\)