Xét khai triển $\Large (3 x+1)^{1000}=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{1000} x^

Xét khai triển 

$\Large (3 x+1)^{1000}=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{1000} x^{1000}$

Tìm $\Large a=\max \left\{a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{1000}\right\}$

• A. $Large a=a_{749}$
• B. $Large a=a_{501}$
• C. $Large a=a_{750}$
• D. $Large a=a_{500}$

Ta có $\Large (3 x+1)^{1000}=\sum_{k=0}^{k=1000} C_{1000}^{k} 3^{k} x^{k}$

$\Large a_{k} > a_{k+1} \Leftrightarrow C_{1000 }^{k} 3^{k} > C_{1000}^{k+1} 3^{k+1}$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{1000 !}{k !(1000-k) !} > \dfrac{1000 ! 3}{(k+1) !(999-k) !}$

$\Large \Leftrightarrow k+1 > 3(1000-k) \Leftrightarrow k > 749,75$

Tương tự 

$\Large a_{k} > a_{k-1} \Leftrightarrow C_{1000}^{k} > C_{1000}^{k-1} 3^{k-1}$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{1000 ! 3}{k !(1000-k) !} > \dfrac{1000 !}{(k-1) !(1001-k) !}$

$\Large \Leftrightarrow 3(1001-k) > k \Leftrightarrow k < 750,75$

Vậy $\Large a_k$ lớn nhất khi và chỉ khi $\Large k=750$

Chọn đáp án C