Xét hàm số f(x) liên tục trên [-1; 2] và thỏa mãn $\large f(x) + 2xf(x

Xét hàm số f(x) liên tục trên [-1; 2] và thỏa mãn $\large f(x) + 2xf(x^2-2)+3f(1-x) = 4x^3$. Tính giá trị của tích phân $\large I = \int_{-1}^2 f(x)dx$

• A. $\large I= 3$
• B. $\large I = 5$
• C. $\large I = 15$
• D. $\large I = 6$

Chọn A

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: 

$\large \int \left[f(x) +2xf(x^2-2) +3f(1-x)\right]dx= \int 4x^3 dx$

$\large \Rightarrow \int f(x)dx + \int f(x^2-2)d(x^2-2)-\int 3f(1-x)d(1-x) = x^4+C$

Đặt $\large \int f(t) dt = F(t) \Rightarrow F(x) + F(x^2-2)-3F(1-x)= x^4+C$

Ta có: $\large \left\{\begin{align}& x=-1 \Rightarrow F(-1)+ F(-1) -3F(2) = 1+C\\& x=2\Rightarrow F(2) + F(2) -3F(-1) = 16+C\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow\left\{\begin{align}& 2F(-1)-3F(2)=1+C\\& 2F(2) -3F(-1) = 16+ C\\\end{align}\right. $

Trừ từng vế thu được: $\large 5F(2) -5F(-1)=15\Rightarrow F(2) -F(-1) =3\Rightarrow I = \int_{-1}^2 f(x)dx= 3$