Xét các khẳng định sau: i) Nếu hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm trên

Xét các khẳng định sau:
i) Nếu hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm trên $\Large \mathbb{R}$ thỏa mãn $\Large {f}'(x) > 0\ \forall x\in \mathbb{R}$ thì hàm số đồng biến trên $\Large \mathbb{R}$.

ii) Nếu hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm trên $\Large \mathbb{R}$ thỏa mãn $\Large {f}'(x) \geq 0\ \forall x\in \mathbb{R}$ và đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên $\Large \mathbb{R}$ thì hàm số đồng biến trên $\Large \mathbb{R}$.

iii) Nếu hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm trên $\Large \mathbb{R}$ và đồng biến trên $\Large \mathbb{R}$ thì $\Large {f}'(x) \geq 0\ \forall x\in \mathbb{R}$ và đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên $\Large \mathbb{R}$.

iv) Nếu hàm số $\Large y=f(x)$ thỏa mãn $\Large {f}'(x) \geq 0\ \forall x\in \mathbb{R}$ và đẳng thứ xảy ra tại vô hạn điểm trên $\Large \mathbb{R}$ thì hàm số $\Large y=f(x)$ không đồng biến trên $\Large \mathbb{R}$.

Số khẳng định đúng là

• A. 4.
• B. 2.
• C. 3.
• D. 1.

+) Mệnh đề i) và ii) đúng ( theo định lý về tính đơn điệu của hàm số).
+) Xét hàm số $\Large y=f(x)=x+\sin x$ ta thấy:

1) Hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên $\Large \mathbb{R}$.

2) $\Large {f}'(x)=1+\cos x\geq 0$, $\Large \forall x\in \mathbb{R}$.

3) $\Large {f}'(x)=0\Leftrightarrow \cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi$, $\Large k\in \mathbb{Z}$.

4) Hàm số $\Large y=f(x)=x+\sin x$ đồng biến trên các đoạn $\Large [\pi +k2\pi; \pi+2(k+1)\pi]$, $\Large k\in \mathbb{Z}$.

Suy ra hàm số $\Large y=x+\sin x$ đồng biến trên $\Large \mathbb{R}$.

Do đó các mệnh đề iii) và iv) là các mệnh đề sai.
Vậy số khẳng định đúng là 2.