Có bao nhiêu số nguyên $\Large m$ thuộc đoạn [-20; 20] để giá trị lớn

Có bao nhiêu số nguyên $\Large m$ thuộc đoạn [-20; 20] để giá trị lớn nhất của hàm số $\Large y=\dfrac{x+m+6}{x-m}$ trên đoạn [1; 3] là số dương?

• A. 9.
• B. 8.
• C. 11.
• D. 10.

Xét hàm số $\Large y=\dfrac{x+m+6}{x-m}$. Điều kiện xác định của hàm số là $\Large x\neq m$.

Ta có: $\Large {y}'=\dfrac{-2m-6}{(x-m)^2}$.

* Trường hợp 1: $\Large -2m-6=0\Leftrightarrow m=-3$.

Khi đó hàm số $\Large y=\dfrac{x+m+6}{x-m}=\dfrac{x+3}{x+3}=1$, $\Large \forall x\neq -3$ là hàm hằng, nên $\Large \underset{[1; 3]}{\max}y=1 > 0$.

Do đó nhận $\Large m=-3$.

* Trường hợp 2: $\Large -2m-6 > 0\Leftrightarrow m < -3$ (1).

Khi đó $\Large \underset{[1; 3]}{\max}y > 0$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & m\neq [1; 3] \\ & f(3) > 0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & m < 1 \\ & m > 3 \end{align}\right.$ và $\Large \dfrac{m+9}{3-m} > 0$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & m < 1 \\ & m > 3 \end{align}\right.$ và $\Large -9 < m < 3$ $\Large \Leftrightarrow -9 < m < 1$.

Đối chiếu với (1), ta được $\Large -9 < m < -3$.

* Trường hợp 3: $\Large -2m-6 < 0\Leftrightarrow m > -3$ (2).

Khi đó $\Large \underset{[1; 3]}{\max}y > 0$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & m\neq [1; 3] \\ & f(1) > 0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & m < 1 \\ & m > 3 \end{align}\right.$ và $\Large \dfrac{m+7}{1-m} > 0$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & m\neq [1; 3] \\ & f(1) > 0 \end{align}\right.$ và $\Large -7 < m < 1$ $\Large \Leftrightarrow -7 < m < 1$.

Đối chiếu với (2), ta được: $\Large -3 < m < 1$.

Kết hợp ba trường hợp ta có $\Large -9 < m < 1$.

Đồng thời $\Large m\in \mathbb{Z}$ và $\Large m\in [-20; 20]$ nên $\Large m\in \begin{Bmatrix} -8; -7;...; -1; 0 \end{Bmatrix}$.

Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số $\Large m$ thỏa yêu cầu bài toán.