Gọi S là tập hợp các số tự nhiên $\Large n$ có 4 chữ số thỏa mãn $\Lar

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên $\Large n$ có 4 chữ số thỏa mãn $\Large (2^n+3^n)^{2020} < (2^{2020}+3^{2020})^n$. Số phần tử của S là

• A. 8999.
• B. 2019.
• C. 1010.
• D. 7979.

Với mọi số tự nhiên $\Large n$ có 4 chữ số, ta có:

$\Large (2^n+3^n)^{2020} < (2^{2020}+3^{2020})^n$ $\Large \Leftrightarrow \mathrm{ln}\left((2^n+3^n)^{2020}\right) < \mathrm{ln}\left((2^{2020}+3^{2020})\right)$

$\Large \Leftrightarrow 2020\mathrm{ln}(2^n+3^n) < n\mathrm{ln}(2^{2020}+3^{2020})$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{ln}(2^n+3^n)}{n} < \dfrac{\mathrm{ln}(2^{2020}+3^{2020})}{2020}$ (*).

Xét hàm số $\Large f(x)=\dfrac{\mathrm{ln}(2^x+3^x)}{x}$ trên $\Large (999; +\infty)$.

Ta có: $\Large {f}'(x)=\dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{(2^x\mathrm{ln}2+3^x\mathrm{ln}3)x}{2^x+3^x}-\mathrm{ln}(2^x+3^x)\right)$

$\Large =\dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{2^x\mathrm{ln}2^x+3^x\mathrm{ln}3^x-(2^x+3^x)\mathrm{ln}(2^x+3^x)}{2^x+3^x}\right)$

$\Large =\dfrac{1}{x^2(2^x+3^x)}\left(2^x.\mathrm{ln}\left(\dfrac{2^x}{2^x+3^x}\right)+3^x.\mathrm{ln}\left(\dfrac{3^x}{2^x+3^x}\right)\right)$.

Với $\Large \forall x > 999$ ta có: $\Large \dfrac{2^x}{2^x+3^x} < 1$ và $\Large \dfrac{3^x}{2^x+3^x} < 1$ $\Large \Rightarrow \mathrm{ln}\left(\dfrac{2^x}{2^x+3^x}\right) < 0$ và $\Large \mathrm{ln}\left(\dfrac{3^x}{2^x+3^x}\right) < 0$.

$\Large \Rightarrow {f}'(x) < 0$, $\Large \forall x > 999$ $\Large \Rightarrow f(x)$ là hàm nghịch biến trên $\Large (999; +\infty)$.

Do đó (*) $\Large \Leftrightarrow f(n) < f(2020)\Leftrightarrow n > 2020$.

Vì $\Large n$ là số tự nhiên có 4 chữ số nên $\Large n\in \begin{Bmatrix} 2021; 2022;...; 9999 \end{Bmatrix}$.

Vậy S có 7979 phần tử.