Xác định $\Large m$ để phương trình: $\Large x^3+2x^2+(m+1)x+2(m+1)=0$

Xác định $\Large m$ để phương trình: $\Large x^3+2x^2+(m+1)x+2(m+1)=0$ (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

• A.
• B.
• C.
• D.

Điều kiện cần: Giả sử phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, khi đó: $\Large x_1x_3=x_2^2$.

Ta có:

$\Large x_1+x_2+x_3=-2$.

$\Large x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=m+1$ $\Large \Leftrightarrow x_1x_2+x_2x_3+x_2^2=m+1$ $\Large \Leftrightarrow x_2(x_1+x_2+x_3)=m+1$ $\Large \Leftrightarrow x_2=-\dfrac{m+1}{2}$

Với $\Large x_2=-\dfrac{m+1}{2}$ thay vào (1) ta được:

$\Large \left(-\dfrac{m+1}{2}\right)^3+2\left(-\dfrac{m+1}{2}\right)^2+(m+1)\left(-\dfrac{m+1}{2}\right)+2(m+1)=0$ $\Large \Leftrightarrow (m+1)(m^2+2m-15)=0$ 

$\Large \left[\begin{align} & m=-1 \\ & m=3 \\ & m=-4 \end{align}\right.$.

Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân.

Điều kiện đủ:

+ Với $\Large m=-1$, ta được (1) $\Large \Leftrightarrow x^3+2x^2=0$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & x=0 \\ & x=-2 \end{align}\right.$ không thỏa mãn.

+ Với $\Large m=3$, ta được (1) $\Large \Leftrightarrow x^3+2x^2+4x+8=0$ $\Large \Leftrightarrow x=-2$ không thỏa mãn.

+ Với $\Large m=-5$, ta được (1) $\Large \Leftrightarrow x^3+2x^2-4x-8=0$ $\Large \Leftrightarrow x=0$ không thỏa mãn.

Vậy: không tồn tại giá trị $\Large m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.