MỤC LỤC
Xác định giá trị của tham số m để hàm số $\large y=x^{3}+3 x^{2}+m x+m$ nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn $\large 2 \sqrt{2}$
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định trên $\large D=\mathbb{R}$.
Ta có $\large f^{\prime}(x)=3 x^{2}+6 x+m ; \Delta^{\prime}=9-3 m$
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng $\large 2 \sqrt{2}$ khi và chỉ khi $\large f^{\prime}(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $\large x_{1}, x_{2}\left(x_{1}
$\large f^{\prime}(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $\large x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow \Delta^{\prime}=9-3 m>0 , m<3$
Theo định lý Vi-ét ta có: $\large \left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}=-2 \\
x_{1} x_{2}=\dfrac{m}{3}
\end{array}\right.$
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn $\large 2\sqrt{2}$
$\large \Leftrightarrow \left|x_{1}-x_{2}\right|<2 \sqrt{2} \Leftrightarrow\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=8 \Leftrightarrow\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}=8 \Leftrightarrow 4-\dfrac{4m}{3}=8 \Rightarrow m=-3$
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m=-3.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới