Xác định giá trị của tham số m để hàm số $\large y=x^{3}+3 x^{2}+m x+m

Xác định giá trị của tham số m để hàm số $\large y=x^{3}+3 x^{2}+m x+m$ nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn $\large 2 \sqrt{2}$

• A.

  m=2

• B.

  m=1

• C.

  m=-3

• D.

  m=0

Hàm số đã cho xác định trên $\large D=\mathbb{R}$.

Ta có $\large f^{\prime}(x)=3 x^{2}+6 x+m ; \Delta^{\prime}=9-3 m$

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng $\large 2 \sqrt{2}$ khi và chỉ khi $\large f^{\prime}(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $\large x_{1}, x_{2}\left(x_{1}

$\large f^{\prime}(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $\large x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow \Delta^{\prime}=9-3 m>0 , m<3$

Theo định lý Vi-ét ta có: $\large \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=-2 \\ x_{1} x_{2}=\dfrac{m}{3} \end{array}\right.$

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn $\large 2\sqrt{2}$

$\large \Leftrightarrow \left|x_{1}-x_{2}\right|<2 \sqrt{2} \Leftrightarrow\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=8 \Leftrightarrow\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}=8 \Leftrightarrow 4-\dfrac{4m}{3}=8 \Rightarrow m=-3$

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m=-3.