Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $\la

Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $\large y=\dfrac{1}{3} x^{3}-(m-1) x^{2}-(m-3) x+2017 m$ đồng biến trên các khoảng (-3;-1) và (0;3) là đoạn $\large T=[a ; b]$. Tính $\large a^{2}+b^{2}$

 

• A.

  A. $\large a^{2}+b^{2}=10$

• B.

  B. $\large a^{2}+b^{2}=13$

• C.

  C. $\large a^{2}+b^{2}=8$

• D.

  D. $\large a^{2}+b^{2}=5$

Ta có $\large y^{\prime}=x^{2}-2(m-1) x-(m-3)$

Để hàm số đồng biến trên các khoảng (-3;-1) và (0;3) thì $\large y^{\prime} \geq 0$ với mọi $\large x \in(-3 ;-1)$ và $\large x \in(0 ; 3)$. Hay 

$\large x^{2}-2(m-1) x-(m-3) \geq 0 \Leftrightarrow x^{2}+2 x+3 \geq m(2 x+1) \Leftrightarrow \dfrac{x^{2}+2 x+3}{2 x+1} \geq m$ với mọi $\large x \in(0 ; 3)$ và $\large \dfrac{x^{2}+2 x+3}{2 x+1} \leq m$ với $\large x \in(-3 ;-1)$.

Xét $\large f^{\prime}(x)=\left(\dfrac{x^{2}+2 x+3}{2 x+1}\right)^{\prime}=\dfrac{2(x-1)(x+2)}{(2 x+1)^{2}} \rightarrow f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}
x=1 \\
x=-2
\end{array}\right.$

Suy ra $\Large m\leq\underset{(0;3)}{min}f(x)$ và $\Large m\geq\underset{(-3;0)}{max}f(x)$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f(x), để f(x) đồng biến trên (0;3) thì $\large m \leq 2$ để f(x) đồng biến trên (-3;-1) thì $\large m \geq-1 \Rightarrow m \in[-1 ; 2] \Rightarrow a^{2}+b^{2}=5$. Chọn D.