Cho hàm số $\large y=\dfrac{3 x+1}{x-1}$ (C).Tìm tham số m để đường th

Cho hàm số $\large y=\dfrac{3 x+1}{x-1}$ (C).Tìm tham số m để đường thẳng $\large \mathrm{d}: \mathrm{y}=(\mathrm{m}+1) \mathrm{x}+\mathrm{m}-2$ cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng $\large \dfrac{3}{2}$.

• A.

  $\Large m=0$

• B.

  $\Large m=1; m=\dfrac{7}{2}$

• C.

  $\Large m=\pm 1$

• D.

  Không tồn tại m thỏa mãn.

Nếu đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ là 2 nghiệm phương trình: $\large \dfrac{3 x+1}{x-1}=(m+1) x+m-2 ; \Leftrightarrow g(x ; m)=(m+1) x^{2}-6 x+1-m=0\quad(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác 1

Suy ra điều kiện: $\large \left\{\begin{array}{c} m+1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq-1 \\ \Delta^{\prime}=9-(1+m)(1-m)>0=>m^{2}+8>0,\quad \forall m \in R \\ g(1, m)=-4 \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow m \neq-1\right.\quad(*)$

Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm A, B. Gọi $\large \mathrm{A}\left(x_{1} ; y_{1}\right) ; B\left(x_{2} ; y_{2}\right)$ là tọa độ hai giao diểm, với $\large \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (1).

Áp dụng định lý Viet cho phương trình (1) ta có:
$\left\{ \begin{align}   & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{6}{m+1} \\   & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1-m}{m+1}=\frac{1-{{m}^{2}}}{{{\left( m+1 \right)}^{2}}} \\  \end{align} \right.$

Ta có $\large \overrightarrow{A B}=\left(x_{2}-x_{1} ;(m+1)\left(x_{2}-x_{1}\right)\right)$ $\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$$=\sqrt{\frac{36}{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}-\frac{4\left( 1-{{m}^{2}} \right)}{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}}=\frac{\sqrt{32+4{{m}^{2}}}}{\left| m+1 \right|}=\frac{2\sqrt{{{m}^{2}}+8}}{\left| m+1 \right|}$

Suy ra  

$\large \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+(m+1)^{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}}=\left|x_{2}-x_{1}\right| \sqrt{m^{2}+2 m+2}=\dfrac{2 \sqrt{m^{2}+8}}{|m+1|} \sqrt{m^{2}+2 m+2}$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB, h là khoảng cách từ O đến AB, theo giả thiết:

$\large \begin{array}{l} \mathrm{h}=\dfrac{|m-2|}{\sqrt{m^{2}+2 m+2}} \Rightarrow \mathrm{S}=\dfrac{1}{2} A B \cdot h=\dfrac{1}{2} \dfrac{2 \sqrt{m^{2}+8}}{|m+1|} \sqrt{m^{2}+2 m+2} \cdot \dfrac{|m-2|}{\sqrt{m^{2}+2 m+2}}=\dfrac{\sqrt{m^{2}+8}}{|m+1|}|m-2| \\ \text{ Theo đề bài ta có: } \dfrac{\sqrt{m^{2}+8}}{|m+1|}|m-2|=\dfrac{3}{2} \end{array}$

$\begin{align}   & \Leftrightarrow 2\sqrt{{{m}^{2}}+8}\left| m-2 \right|=3\left| m+1 \right| \\   & \Leftrightarrow 4\left( {{m}^{2}}+8 \right){{\left( m-2 \right)}^{2}}=9\left( {{m}^{2}}+1 \right) \\   & \Leftrightarrow 4{{m}^{4}}-16{{m}^{3}}+39{{m}^{2}}-146m+119=0 \\   & \Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( 4{{m}^{3}}-12{{m}^{2}}+27m-119 \right)=0 \\   & \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}    m=1  \\    4{{m}^{3}}-12{{m}^{2}}+27m-119=0  \\ \end{matrix} \right. \\   & \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}    m=1\left( t/m \right)  \\    m=\frac{7}{2}\left( t/m \right)  \\ \end{matrix} \right. \\  \end{align}$
Vậy $m=1$; $m=\frac{7}{2}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.