Cho hàm số $\large f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$. Biết hàm số f(x) đạt c

Cho hàm số $\large f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$. Biết hàm số f(x) đạt cực đại tại x=0, đạt cực tiểu tại x=4, giá trị cực đại của f(x) bằng 1 và giá trị cực tiểu của f(x) bằng -31. Tính hệ số b.

• A.

  A. b=-2

• B.

  B. b=-6

• C.

  C. b=-3

• D.

  D. b=3

Chọn B.

Ta có: $\large f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 3 a x^{2}+2 b x+c=0, \Delta^{\prime}=b^{2}-3 a c$

$\large f^{\prime \prime}(x)=6 a x+2 b$

Để hàm số đã cho đạt cực đại tại $\large x=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
f^{\prime}(0)=0 \\
f^{\prime \prime}(0)<0
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
c=0 \\
b<0
\end{array}\right.\right.\quad(1)$

Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $\large x=4 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
f^{\prime}(4)=0 \\
f^{\prime \prime}(4)>0
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
48 a+8 b+c=0 \\
24 a+2 b>0
\end{array}\right.\right.\quad(2)$

Mặt khác ta có $\large \left\{\begin{array}{l}
f(0)=1 \\
f(4)=-31
\end{array}\right.$ $\large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
d=1 \\
64 a+16 b+4 c+d=-31
\end{array}\right.$ $\large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
d=1 \\
64 a+16 b+4 c=-32
\end{array}\right.\quad(3)$

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình $\large \left\{\begin{array}{l}
48 a+8 b=0 \\
64 a+16 b=-32 \\
b<0 \\
12 a+b>0
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=1 \\
b=-6
\end{array}(T M)\right.\right.$

Vậy b=-6.