Xác định giá trị của tham số m để hàm số $\large y=-x^{3}+x^{2}-(2-m)

Xác định giá trị của tham số m để hàm số $\large y=-x^{3}+x^{2}-(2-m) x+1$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

• A.

  $\Large m=\dfrac{3}{2}$

• B.

  $\Large m=\pm 1$

• C.

  $\Large m=\dfrac{14}{3}$

• D.

  $\Large m=0$

Hàm số đã cho xác định trên $\large D=\mathbb{R}$.

Ta có $\large f^{\prime}(x)=-3 x^{2}+2 x-2+m ; \Delta^{\prime}=-5+3m$

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2 khi và chỉ khi $\large f^{\prime}(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $\large x_{1}, x_{2}\left(x_{1}

Mặt khác: $\large f^{\prime}(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $\large x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow \Delta^{\prime}=-5+3m>0 \Leftrightarrow m>\dfrac{5}{3}$

Theo định lý Viet ta có: $\large \left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}=\dfrac{2}{3} \\
x_{1} x_{2}=\dfrac{2-m}{3}
\end{array}\right.$.

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 $\large \Leftrightarrow I=\left|x_{1}-x_{2}\right|=2 \Leftrightarrow\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=4$

$\large \Leftrightarrow\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}=4 \Leftrightarrow \dfrac{4}{9}-4 \cdot \dfrac{2-m}{3}=4 \Leftrightarrow m=\dfrac{14}{3}(tm)$

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m=14/3