Cho hàm số $\large y=x^{4}+2 m(m+2) x^{2}+m+2$. Tìm m để đồ thị hàm số

Cho hàm số $\large y=x^{4}+2 m(m+2) x^{2}+m+2$. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.

• A.

  A. $\large -\dfrac{1}{2}$.

• B.

  B. $\large -\dfrac{3}{2}$.

• C.

  C. -1.

• D.

  D. $\large -\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Ta có $\large y^{\prime}=4 x^{3}+4 m(m+2) x ; \forall x \in \mathbb{R}$

$\large \begin{array}{l}
\Rightarrow y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 4 x^{3}+4 m(m+2) x=0 \\
\Leftrightarrow 4 x\left(x^{2}+m(m+2)\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=0 \\
g(x)=x^{2}+m(m+2)=0\quad(*)
\end{array}\right.
\end{array}$

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi $\large \Rightarrow m(m+2)<0 \Leftrightarrow-2

Gọi $\large A(0 ; m+2), B\left(\sqrt{-m^{2}-2 m} ; (-m^2-2m)+m+2\right), C\left(-\sqrt{-m^{2}-2 m} ; (-m^2-2m)+m+2\right)$ là ba điểm cực trị.

Dựa vào công thức tam giác cực trị của hàm trùng phương ta có diện tích $\large \Delta ABC$ là:

$\large S_{\Delta A B C}=\left(-m^{2}-2 m\right)^{2} \sqrt{-m^{2}-2 m}=\left(1-(m+1)^{2}\right)^{2} \sqrt{1-(m+1)^{2}}$.

Mà $\large (m+1)^{2} \geq 0 ; \forall m \Rightarrow 1-(m+1)^{2} \leq 1 \Rightarrow S \leq 1$.

Dấu "=" xảy ra khi m=-1. (tm)

Chọn C.