Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $\large y=\df

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $\large y=\dfrac{\cot x-1}{m \cot x-1}$ đồng biến trên khoảng $\large \left(\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{2}\right)$.

• A.

  A. $\large m \in(-\infty ; 0) \cup(1 ;+\infty)$.

• B.

  B. $\large m \in(1 ;+\infty)$.

• C.

  C. $\large m \in(-\infty ; 0)$.

• D.

  D. $\large m \in(-\infty ; 1)$.

Ta có: $\large y^{\prime}=\dfrac{-1+m}{(m \cot x-1)^{2}} \cdot\left(-\dfrac{1}{\sin ^{2} x}\right)$

+ Với $\large m=0 \Rightarrow y=1-\cot x \Rightarrow y^{\prime}=\dfrac{1}{\sin ^{2} x}>0 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\large \left(\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{2}\right)$.

+ Với $\large m \neq 0$, hàm số đồng biến trên khoảng $\large \left(\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}
y^{\prime}>0 \\
\cot x \neq \dfrac{1}{m}
\end{array}\left(\forall x \in\left(\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{\pi}{2}\right)\right)\right.$

$\large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
1-m>0 \\
\dfrac{1}{m} \notin(0 ; 1)
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
m<1 \\
{\left[\begin{array}{c}
\dfrac{1}{m} \leq 0 \\
\dfrac{1}{m} \geq 1
\end{array}\right.}
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
m<1 \\
m \neq 0
\end{array}\right.\right.\right.$.

Kết hợp 2 trường hợp suy ra m<1 là giá trị cần tìm. Chọn D.