Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\Large y=\dfrac{x+3}{x

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\Large y=\dfrac{x+3}{x-1}$, biết tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

• A. $\Large y=-x+6 ; y=-x-2$
• B. $\Large y=-x-6 ; y=-x-2$
• C. $\Large y=x+1 ; y=x+6$
• D. $\Large y=x-1 ; y=x-6$

Chọn A

Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập là $\Large A\left(x_{0} ; y_{0}\right), x_{0} \neq 1$, ta có $\Large y_{0}=\dfrac{x_{0}+3}{x_{0}-1}$

Ta có $\Large y^{\prime}=\dfrac{-4}{(x-1)^{2}}$ suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là $\Large f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\dfrac{-4}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}$

Vì tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến tạo với trục Ox góc $\Large 45^\circ$

Do đó $\Large f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\pm 1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \dfrac{-4}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}=1 \\ \dfrac{-4}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}=-1 \end{array}\right.$ $\Large \Leftrightarrow\left(x_{0}-1\right)^{2}=4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x_{0}=3 \\ x_{0}=-1 \end{array}\right.$

Với $\Large x_{0}=3 \Rightarrow y_{0}=3$ ta có phương trình tiếp tuyến $\Large y=-(x-3)+3 \Leftrightarrow y=-x+6$

Với $\Large x_{0}=-1 \Rightarrow y_{0}=-1$ ta có phương trình tiếp $\Large y=-(x+1)-1 \Leftrightarrow y=-x-2$