Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $\Large 2 \sqrt{2}$. Cạ

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $\Large 2 \sqrt{2}$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và $\Large S A=3$. Mặt phẳng $\Large (\alpha)$ qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại M, N, P. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

• A.

  $\Large \dfrac{32 \pi}{3}$

• B.

  $\Large \dfrac{64 \sqrt{2} \pi}{3}4$

• C.

  $\Large \dfrac{108 \pi}{3}$

• D.

  $\Large \dfrac{125 \pi}{3}$

Chọn A

Ta có $\Large \left\{\begin{array}{l}
S A \perp B C \\
A B \perp B C
\end{array} \Rightarrow B C \perp(S A B) \Rightarrow B C \perp M A\right.$

Lại có $\Large M A \perp S C \Rightarrow M A \perp(S B C) \Rightarrow M A \perp M C(1)$

Tương tự: $\Large A P \perp P C \quad(2)$

Mặt khác $\Large AN \perp N C \quad (3)$

Gọi I là trung điểm của AC, từ (1), (2) (3) ta có $\Large I N=I M=I C=I P(=I A)$. Mặt cầu ngoại tiếp CMNP là mặt cầu tâm I, bán kính IA.

$\Large I A=\dfrac{A C}{2}=\dfrac{\sqrt{(2 \sqrt{2})^{2}+(2 \sqrt{2})^{2}}}{2}=2$

Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là: $\Large V=\dfrac{4}{3} \pi \cdot 2^{3}=\dfrac{32 \pi}{3}$