Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $\Large y=\left|x^{

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $\Large y=\left|x^{3}-m x^{2}+12 x+2 m\right|$ luôn đồng biến trên khoảng $\Large (1 ;+\infty)$?

• A. 18
• B. 19
• C. 21
• D. 20

Chọn D

Xét $\Large f(x)=x^{3}-m x^{2}+12 x+2 m$, Ta có $\Large f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 m x+12$ và $\Large f(1)=13+m$

Để hàm số $\Large y=\left|x^{3}-m x^{2}+12 x+2 m\right|$ đồng biến trên khoảng $\Large (1 ;+\infty)$ thi có hai trường hợp sau

Trường hợp 1: Hàm số f(x) nghịch biến trên $\Large (1 ;+\infty)$ và $\Large f(1) \leq 0$

Điều này không xảy ra vì $\Large \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{3}-m x^{2}+12 x+2 m\right)=+\infty$

Trường hợp 2: Hàm số f(x) đồng biến trên $\Large (1 ;+\infty)$ và $\Large f(1) \neq 0$

$\Large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
3 x^{2}-2 m x+12 \geq 0, \forall x > 1 \\
13+m \geq 0
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
m \leq \dfrac{3}{2} x+\dfrac{6}{x}, \forall x > 1 \\
m \geq-13\quad (*)
\end{array}\right.\right.$

Xét $\Large g(x)=\dfrac{3}{2} x+\dfrac{6}{x}$ trên khoảng $\Large (1 ;+\infty): g^{\prime}(x)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{x^{2}}$; $\Large g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{x^{2}}=0 \Rightarrow x=2$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra $\Large m \leq \dfrac{3}{2} x+\dfrac{6}{x}, \forall x > 1 \Leftrightarrow m \leq 6$

Kết hợp (*) suy ra $\Large -13 \leq m \leq 6$. Vì m nguyên nên $\Large m \in\{-13 ;-12 ;-11 ; \ldots ; 5 ; 6\}$. Vậy có 20 giá trị nguyên của m