MỤC LỤC
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 60∘. Tính cos của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).
Lời giải chi tiết:
Từ giả thiết ta có SO⊥(ABCD)
Gọi I là trung điểm OA thì MI là đường trung bình của ΔSOA⇒MI//SO⇒MI⊥(ABCD)
⇒ I là hình chiếu của M trên mặt phẳng (ABCD) ⇒ IN là hình chiếu của MN trên mặt phẳng (ABCD). Suy ra (^MN,(ABCD))=(^MN,IN)⇒^MNI=60∘
Ta có NC=12BC=a2;IC=34AC=3a√24
Áp dụng định lý cosin trong ΔINC ta có IN2=CI2+CN2−2CI.CN⋅cos^NCI
⇒IN2=(3a√24)2+(a2)2−2⋅3a√24⋅a2⋅cos45∘=5a28⇒IN=a√104
Do ΔMIN vuông tại I nên cos^MNI=INMN⇒MN=INcos60∘=a√104:12=a√102
Lại có AC⊥BD,AC⊥SO⇒AC⊥(SBD)
Gọi E là trung điểm OB ⇒ EN là đường trung bình của ΔBOC⇒EN//OC hay EN//AC
⇒NE⊥(SBD) hay E là hình chiếu của N trên mặt phẳng (SBD)
Gọi F là trung điểm của SO ⇒ MF là đường trung bình của ΔSAO⇒MF//AO hay MF//AC
⇒MF⊥(SBD) hay F là hình chiếu của M trên mặt phẳng (SBD).
Ta có MF//NE nên bốn điểm E, N, F, M cùng nằm trên một mặt phẳng
Trong mặt phẳng (ENFM) gọi J=MN∩EF⇒J=MN∩(SBD) (do EF⊂(SBD))
Suy ra (^MN,(SBD))=(^MN,EF)=^EJN (do ^EJN<90∘)
Ta có EN=12OC=14AC=a√24; MF=12AO=14AC=a√24⇒EN=MF, mà EN//MF
⇒ Tứ giác ENFM là hình bình hành ⇒ I là trung điểm MN⇒JN=12MN=a√104
Vậy cos(^MN,(SBD))=cos^EJN=JEJN=√JN2−EN2JN=√(a√104)2−(a√24)2a√104=2√55
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới