Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. G

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. G

4.7/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 18 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. G

Câu hỏi:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 60. Tính cos của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).

Đáp án án đúng là: C

Lời giải chi tiết:

Hình đáp án 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. G

Từ giả thiết ta có SO(ABCD)

Gọi I là trung điểm OA thì MI là đường trung bình của ΔSOAMI//SOMI(ABCD)

I là hình chiếu của M trên mặt phẳng (ABCD) IN là hình chiếu của MN  trên mặt phẳng (ABCD). Suy ra (^MN,(ABCD))=(^MN,IN)^MNI=60

Ta có NC=12BC=a2;IC=34AC=3a24

Áp dụng định lý cosin trong ΔINC ta có IN2=CI2+CN22CI.CNcos^NCI

IN2=(3a24)2+(a2)223a24a2cos45=5a28IN=a104

Do ΔMIN vuông tại I nên cos^MNI=INMNMN=INcos60=a104:12=a102

Lại có ACBD,ACSOAC(SBD)

Gọi E là trung điểm OB EN là đường trung bình của ΔBOCEN//OC hay EN//AC

NE(SBD) hay E là hình chiếu của N trên mặt phẳng (SBD)

Gọi F là trung điểm của SO MF là đường trung bình của ΔSAOMF//AO hay MF//AC

MF(SBD) hay F là hình chiếu của M trên mặt phẳng (SBD).

Ta có MF//NE nên bốn điểm E, N, F, M cùng nằm trên một mặt phẳng

Trong mặt phẳng (ENFM) gọi J=MNEFJ=MN(SBD) (do EF(SBD))

Suy ra (^MN,(SBD))=(^MN,EF)=^EJN (do ^EJN<90)

Ta có EN=12OC=14AC=a24; MF=12AO=14AC=a24EN=MF, mà EN//MF

Tứ giác ENFM là hình bình hành I là trung điểm MNJN=12MN=a104

Vậy cos(^MN,(SBD))=cos^EJN=JEJN=JN2EN2JN=(a104)2(a24)2a104=255