Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R

Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là:

• A.

  A. $\large R = \sqrt{\dfrac{S}{2\pi }}; h = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{S}{2\pi }}$

• B.

  B. $\large R = \sqrt{\dfrac{S}{4\pi }}; h = \sqrt{\dfrac{S}{4\pi }}$

• C.

  C. $\large R = \sqrt{\dfrac{2S}{3\pi }}; h = 4\sqrt{\dfrac{2S}{3\pi }}$

• D.

  D. $\large R = \sqrt{\dfrac{S}{6\pi }}; h = 2\sqrt{\dfrac{S}{6\pi }}$

Gọi thể tích khối trụ là V, diện tích toàn phần của hình trụ là S.

Ta có: $\large S = S_{2day}+S_{xq} = 2\pi R^{2}+2\pi Rh$. Từ đó suy ra:

$\large \dfrac{S}{2\pi } = R^{2}+Rh \Leftrightarrow \dfrac{S}{2\pi } = R^{2}+\dfrac{V}{\pi R}$  

$\large = R^{2}+\dfrac{V}{2\pi R}+\dfrac{V}{2\pi R} \overset{Cauchy}{\geq } 3\sqrt[3]{\dfrac{V^{2}}{4\pi ^{2}}}$ 

hay $\large 27\dfrac{V^{2}}{4\pi^{2}}\leq \left (\dfrac{S}{2\pi}  \right )^{3}\Leftrightarrow V \leq \sqrt{\dfrac{S^{3}}{54\pi }}$ 

Vậy $\large V_{max} = \sqrt{\dfrac{S^{3}}{54\pi }}$. Dấu “=” xảy ra:

$\large \Leftrightarrow R^{2} = \dfrac{V}{2\pi R} = \dfrac{\pi R^{2}h}{2\pi R} = \dfrac{Rh}{2}$ 

hay h = 2R.

Khi đó $\large S = 6\pi R^{2}\Rightarrow R = \sqrt{\dfrac{S}{6\pi }}$ và $\large h = 2R = 2\sqrt{\dfrac{S}{6\pi }}$ 

Chọn D