Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Đường thẳ

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng $\large SA = a\sqrt{2}$ vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng $\large (\alpha)$  đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây?

• A.

  A. $\large a\sqrt{2}$

• B.

  B. a

• C.

  C. $\large \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

• D.

  D. $\large \dfrac{a}{2}$

Mặt phẳng $\large (\alpha)$ song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên EF // BD.

$\large \Delta SAC$ cân tại A trung tuyến AM nên $\large AM \perp SC$.   (1)

Ta có $\large \begin{cases}
 & \ BD \perp AC \\ 
 & \ BD \perp SA 
\end{cases}\Rightarrow BD \perp (SAC)\Rightarrow BD \perp SC$ 

Do đó $\large EF \perp SC$.     (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\large SC \perp (\alpha) \Rightarrow SC \perp AE$.   (*)

Lại có $\large \begin{cases}
 & \ BC \perp AB \\ 
 & \ BC \perp SA 
\end{cases}\Rightarrow BC \perp (SAB)\Rightarrow BC \perp AE$  (**)

Từ (*) và (**), suy ra $\large AE \perp (SBC) \Rightarrow AE \perp SB$. Tương tự ta cũng có $\large AF \perp SD$.

Do đó $\large \widehat{SEA} = \widehat{SMA} = \widehat{SFA} = 90^{\circ}$ nên năm điểm S, A, E, M, F cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính $\large R = \dfrac{SA}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Chọn C.