Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O bán kính R . Trên đường

Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng $\large R^{2}\sqrt{2}$. Thể tích hình nón đã cho bằng:

• A.

  A. $\large \dfrac{\pi R^{3}\sqrt{14}}{12}$

• B.

  B. $\large \dfrac{\pi R^{3}\sqrt{14}}{2}$

• C.

  C. $\large \dfrac{\pi R^{3}\sqrt{14}}{6}$

• D.

  D. $\large \dfrac{\pi R^{3}\sqrt{14}}{3}$

Gọi H là trung điểm của đoạn AB.

Nhận thấy:

+) Tam giác OAB vuông cân tại O.

+) $\large OH \perp AB, SH \perp AB$ nên góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (OAB) bằng $\large \varphi = \widehat{SHO}$.

Ta có: 

$\large S_{\Delta OAB} = S_{\Delta SAB}.cos\varphi \Rightarrow \dfrac{1}{2}R^{2} = R^{2}\sqrt{2}.cos\varphi \Rightarrow cos\varphi = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ 

Mà $\large cos\varphi =\dfrac{OH}{SH} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \Rightarrow \dfrac{\dfrac{R\sqrt{2}}{2}}{SH} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ 

$\large \Rightarrow  SH = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}.2\sqrt{2} = 2R$.

$\large \Rightarrow SO = \sqrt{SH^{2}-OH^{2}} = \sqrt{4R^{2}-\left (\dfrac{R\sqrt{2}}{2}  \right )^{2}} = \dfrac{R\sqrt{14}}{2}$.

Vậy thể tích khối nón bằng 

$\large V = \dfrac{1}{3}\pi R^{2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi R^{2}.\dfrac{R\sqrt{14}}{2} = \dfrac{\pi R^{3}\sqrt{14}}{6}$.