Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ , bán kính đáy bằ

Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB.

• A.

  A. $\large \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$

• B.

  B. $\large \dfrac{a^{3}}{12}$

• C.

  C. $\large \dfrac{5a^{3}\sqrt{3}}{12}$

• D.

  D. $\large \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$

Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xứng của A’ qua O’ và H là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng A’D.

$\large \begin{cases}
 & \ BH \perp A'D \\ 
 & \ BH \perp AA' 
\end{cases}\Rightarrow BH \perp (AOO'A')$ 

Do đó, BH là chiều cao của tứ diện OO’AB 

Thể tích khối tứ diện OO’AB: $\large V = \dfrac{1}{3}.S_{\Delta AOO'}.BH$ 

Tam giác AA’B vuông tại A’ cho: 

$\large A'B = \sqrt{AB^{2}-A'A^{2}} = \sqrt{4a^{2}-a^{2}} = a\sqrt{3}$ 

Tam giác A’BD vuông tại B cho:

$\large BD = \sqrt{A'D^{2}-A'B^{2}} = \sqrt{4a^{2}-3a^{2}} = a$

Suy ra BO’D là tam giác đều cạnh a.

Từ đó $\large BH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Do OA = OO’ = a nên tam giác AOO’ vuông cân tại O.

Diện tích tam giác AOO’ là: $\large S_{AOO’} = \dfrac{1}{2}AO.OO'= \dfrac{1}{2}a^{2}$ 

Vậy $\large V = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}a^{2} = \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$ 

Chọn A.