Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

• A.

  A. $\large \dfrac{\sqrt{2}\pi a^{3}}{3}$

• B.

  B. $\large \dfrac{11\sqrt{11}\pi a^{3}}{162}$

• C.

  C. $\large \dfrac{\pi a^{3}}{6}$

• D.

  D. $\large \dfrac{\pi a^{3}}{3}$

Gọi $\large O = AC \cap BD$ 

Suy ra OA = OB = OC = OD.   (1)

Gọi M là trung điểm AB, do tam giác SAB vuông tại S nên MS = MA = MB.

Gọi H là hình chiếu của S trên AB.

Từ giả thiết suy ra SH $\large \perp (ABCD)$.

Ta có $\large \begin{cases}
 & \ OM \perp AB \\ 
 & \ OM \perp SH 
\end{cases}\Rightarrow OM \perp (SAB)$  

nên OM là trục của tam giác SAB, suy ra OA = OB = OS.   (2)

Từ (1) và (2), ta có OS = OA = OB = OC = OD.

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD, bán kính $\large R = OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra $\large V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3} = \dfrac{\sqrt{2}\pi a^{3}}{3}$ (đvtt). Chọn A.