Trong một lớp có $\Large (2n+3)$ học sinh gồm An, Bình, Chi cùng $\Lar

Trong một lớp có $\Large (2n+3)$ học sinh gồm An, Bình, Chi cùng $\Large 2n$ học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến $\Large (2n+3)$, mỗi học sin ngồi một ghế thì xác suất số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là $\Large \dfrac{17}{1155}$. Số học sinh của lớp là

• A. 27.
• B. 25.
• C. 45.
• D. 35.

Số cách sắp xếp các học sinh vào ghế là $\Large (2n+3)!$.

Ba số tự nhiên $\Large a, b, c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì $\Large a+c=2b$ nên $\Large a+c$ là một số chẵn.

Như vậy $\Large a, c$ phải có cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Từ 1 đến $\Large (2n+3)$ có $\Large n+1$ số tự nhiên chẵn và $\Large n+2$ số tự nhiên lẻ.

Muốn có một cách xếp học sinh sao cho số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng ta tiến hành như sau.

Bước 1: Chọn 2 ghế số có thứ tự cùng chẵn hoặc cùng lẻ rồi xếp An và Chi vào, sau đó xếp Bình vào vị trí ghế chính giữa An và Chi. Bước này có

$\Large A_{n+1}^2+A_{n+2}^2$ cách.

Bước 2: Xếp chỗ cho $\Large 2n$ học sinh còn lại, bước này có $\Large (2n)!$ cách xếp.

Vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là $\Large (A_{n+1}^2+A_{n+2}^2).(2n)!$.

Theo bài ra ta có phương trình

$\Large \dfrac{(A_{n+1}^2+A_{n+2}^2).(2n)!}{(2n+3)!}=\dfrac{17}{1155}$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{n(n+1)+(n+1)(n+2)}{(2n+1)(2n+2)(2n+3)}=\dfrac{17}{1155}$

$\Large \Leftrightarrow 68n^2-1019n-1104=0$

$\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & n=16 (\text{thỏa mãn}) \\ & n=-\dfrac{69}{68} (\text{loại})\end{align}\right.$ 

Vậy số học sinh trong lớp là 35 học sinh.

Chọn đáp án D.