Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. trên các đường thẳng

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. trên các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại B và C lấy điểm D, E cùng phía so với (P) sao cho $\large BD= \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $\large CE= a\sqrt{3}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ADE) và (ABC)

• A. $\large 30^\circ $
• B. $\large 45^\circ $
• C. $\large 60^\circ $
• D. $\large 90^\circ $

Chọn C

Vẽ $\large BC\cap DE= M \Rightarrow  (ADE)\cap (ABC) = AM$
Ta có: $\large BD// CE\Rightarrow  \dfrac{BD}{CE}= \dfrac{MB}{MC}= \dfrac{1}{2}\Rightarrow  BM= BC= BA$
Suy ra $\large \Delta AMC$ vuông tại A $\large \Rightarrow  AM\perp AC$
$\large \left\{\begin{align}& AM\perp AC\\& AM\perp EC\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow  AM\perp (ACE)\Rightarrow  AM\perp AE\Rightarrow  \Delta AME$ vuông tại A
Và $\large \left\{\begin{align}& (ADE)\cap (ABC)= AM\\& (ADE)\supset AE\perp AM\\& (ABC)\supset AC\perp AM\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow  ((ADE), (ABC))= (AE, AC)= \widehat{EAC}$
Xét $\large \Delta AEC$ vuông tại C có $\large \tan \widehat{EAC}= \dfrac{EC}{AC}= \dfrac{a\sqrt{3}}{a}= \sqrt{3}\Rightarrow  \widehat{EAC} = 60^\circ $