Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $\large AB= 3

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $\large AB= 3a,\, BC= 4a$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng $\large 60^\circ $. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SMN)

• A. $\large a\sqrt{3}$
• B. $\large \dfrac{10a\sqrt{3}}{\sqrt{79}}$
• C. $\large \dfrac{5a}{2}$
• D. $\large 5a\sqrt{3}$

Chọn B

Ta có $\large (SC,(ABCD))=(SC, AC)=\widehat{SCA}=60^{0}$

Suy ra $\large AC= 5a,\, SA= 5a\sqrt{3}$
Ta có: $\large AB// (SMN)\Rightarrow  d(AB, (SMN))= d(A, (SMN))$
Dựng $\large AH\perp MN$ tại H trong (ABC)
Dựng $\large AK\perp SH$ tại K trong (SAH)
$\large \Rightarrow  AK\perp (SMN)$ tại K nên $\large d(A, (SMN))= AK\Rightarrow  d(AB, (SMN))= AK;\, AH= NB= 2a$
$\large \dfrac{1}{AK^2}= \dfrac{1}{AH^2}+ \dfrac{1}{SA^2}= \dfrac{1}{4a^2}+ \dfrac{1}{75a^2}= \dfrac{79}{300a^2}\Rightarrow  AK= \dfrac{10a\sqrt{3}}{\sqrt{79}}$