Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên $\lar

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên $\large SA= x$ và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc $\large 60^\circ $ 

• A. $\large x= \dfrac{3a}{2}$
• B. $\large x= \dfrac{a}{2}$
• C. $\large x= a$
• D. $\large x= 2a$

Chọn C

Từ A kẻ AH vuông góc với SB ($\large H\in SB$)
Ta có: $\large \left\{\begin{align}& SA\perp BC\\& AB\perp BC\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow  BC\perp (SAB)\Rightarrow  BC\perp AH$ mà $\large AH\perp SB$ suy ra $\large AH\perp (SBC)\Rightarrow  AH\perp SC$ 
Từ A kẻ AK vuông góc với SD ($\large K\in SD$), tương tự chứng minh được $\large AK\perp (SCD)\Rightarrow  AK\perp SC$
Khi đó $\large SC\perp (AHK)$, suy ra:
$\large ((SBC), (SCD))= (AH, AK)= \angle (HAK) = 60^\circ$ 
Lại có: $\large \Delta SAB= \Delta SAD\, (c.g.c)\Rightarrow  AH= AK$ mà $\large \widehat{HAK}= 60^\circ $ suy ra tam giác AHK đều
Tam giác SAB vuông tại A có
$\large \dfrac{1}{AH^2}= \dfrac{1}{SA^2}+ \dfrac{1}{AB^2}= \dfrac{1}{x^2}+ \dfrac{1}{a^2}\Rightarrow  AH= \dfrac{xa}{\sqrt{x^2+a^2}}= AK= HK$ 
Suy ra: 
$\large SH= \sqrt{SA^2-AH^2}= \sqrt{x^2- \dfrac{x^2a^2}{x^2+a^2}}= \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+a^2}}\Rightarrow  \dfrac{SH}{SB}= \dfrac{x^2}{x^2+a^2}$ 
Tương tự ta chứng minh được:  $\large \dfrac{SK}{SD}= \dfrac{x^2}{x^2+a^2}\Rightarrow  HK// BD$ 
Suy ra:
 $\large \dfrac{SH}{SB}= \dfrac{HK}{BD}\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{x^2+a^2}= \dfrac{xa}{\sqrt{x^2+a^2}.a\sqrt{2}}\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 2x^2= x^2+a^2\Rightarrow  x= a$