Cho hình chóp S. ABC có góc $\large \widehat{ASB}= \widehat{CSB}= 60^\

Cho hình chóp S. ABC có góc $\large \widehat{ASB}= \widehat{CSB}= 60^\circ,\, \widehat{ASC}= 90^\circ,\, SA= a,\, SB= SC= 2a$. Khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 

• A. $\large 2a\sqrt{6}$
• B. $\large \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
• C. $\large \dfrac{2a\sqrt{6}}{3}$
• D. $\large a\sqrt{6}$

Chọn B

Trong (SAB) lấy điểm A' đối xứng với S qua A.

Theo đề bài, ta có: các tam giác SAB, SBC có $\large \widehat{ASB}= \widehat{CSB}= 60^\circ $ và $\large SA’= SB= SC= 2a$ 
$\large \Rightarrow  \Delta SA'B, \Delta SBC$ đều, cạnh bằng 2a
$\large \Delta SA’C$ vuông cân tại S $\large \Rightarrow  A’C= SA’.\sqrt{2}=2\sqrt{2}a$ 
$\large \Rightarrow  \Delta A’BC$ vuông cân tại B
Gọi N là trung điểm của A’C $\large \Rightarrow  SN\perp (A’BC)$ 
Gọi M là trung điểm của BC $\large \Rightarrow  MN//A’B$ 
$\large A’B\perp BC\Rightarrow  MN\perp BC\Rightarrow  BC\perp (SMN)$ 
Ta có: $\large A’S\cap (SBC)=S,\, A’S= 2AS\Rightarrow  d(A, (SBC))= \dfrac{1}{2}d(A’,(SBC))$ 
Mặt khác: $\large A’C\cap (SBC)=C,\, A’C= 2NC\Rightarrow  d(A’, (SBC))= 2d(N, (SBC))$ 
$\large \Rightarrow  d(A, (SBC))= d(N, (SBC))$ 
Trong (SMN) kẻ $\large NH\perp SM\Rightarrow  NH\perp (SBC)\Rightarrow  d(N, (SBC))= NH\Rightarrow  d(A, (SBC))= NH$ 
+ Tính NH
Ta có: $\large MN= \dfrac{1}{2}A’B= \dfrac{1}{2}.2a=a$ (vì $\large \Delta SA’B$ đều cạnh bằng 2a)
$\large SN= \dfrac{1}{2}A’C= \dfrac{1}{2}.2\sqrt{2}a= \sqrt{2}a$ (vì $\large \Delta SA’C$ vuông tại S)
$\large \Delta SMN$ vuông tại N
$\large NH\perp SM\Rightarrow  \dfrac{1}{NH^2}= \dfrac{1}{SN^2}+ \dfrac{1}{MN^2}= \dfrac{1}{2a^2}+ \dfrac{1}{a^2}= \dfrac{3}{2a^2}$
$\large \Rightarrow  NH= \dfrac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow  d(A, (SBC))= \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$