Cho tứ diện ABCD có $\large AC= AD= BC= BD= a$ và hai mặt phẳng (ACD),

Cho tứ diện ABCD có $\large AC= AD= BC= BD= a$ và hai mặt phẳng (ACD), (BCD) vuông góc với nhau. Tính độ dài cạnh CD sao cho hai mặt phẳng (ABC), (ABD) vuông góc

• A.

  $\large \dfrac{2a}{\sqrt{3}}$

• B.

  $\large \dfrac{2a}{\sqrt{3}}$

• C.

  $\large \dfrac{a}{2}$

• D.

  $\large a\sqrt{3}$

Chọn A

Gọi H là trung điểm của CD nên $\large AH\perp CD$
$\large \Leftrightarrow AH\perp (BCD)$ (do $\large (ACD)\perp (BCD)$ và $\large (ACD)\cap (BCD)= CD$)
Gọi M là trung điểm của AB nên $\large CM\perp AB$
Vì $\large (ABC)\perp (ABD)$ và $\large (ABC)\cap (ABD)= AB\Rightarrow  CM\perp MD$
$\large \Delta ABC= \Delta ABD\Rightarrow  MC= MD\Rightarrow  \Delta MCD$ vuông cân tại M
Đặt $\large CD= x\Rightarrow  AH^2= BH^2= a^2- \dfrac{x^2}{4}\Leftrightarrow AB^2= AH^2+ BH^2= 2a^2- \dfrac{x^2}{2}$
Ta có: $\large MH= \dfrac{1}{2}AB= \dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2- \dfrac{x^2}{2}}\Leftrightarrow MH= \dfrac{1}{2}CD\Leftrightarrow \sqrt{2a^2- \dfrac{x^2}{2}}.\dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{2}x$
$\large \Leftrightarrow 2a^2- \dfrac{x^2}{2}= x^2\Leftrightarrow x= \dfrac{2a}{\sqrt{3}}$