Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng

Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $\large \dfrac{a\sqrt{21}}{6}$. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC)

• A. $\large d = \dfrac{a}{4}$
• B. $\large d= \dfrac{3a}{4}$
• C. $\large d= \dfrac{3}{4}$
• D. $\large d= \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$

Chọn D

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC
Do hình chóp S. ABC đều nên suy ra $\large SO\perp (ABC)$
Gọi E là trung điểm BC ta có: 
$\large AO\cap (SBC)= E\Rightarrow  \dfrac{d(A, (SBC))}{d(O, (SBC))}= \dfrac{AE}{OE}= 3$
$\large \Rightarrow  d(A, (SBC))= 3.d(O, (SBC))$
Trong (SAE) kẻ $\large OK\perp SE$ (1)
Ta có: $\large \left\{\begin{align}& BC\perp AE\\& BC\perp SO\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow  BC\perp OK$ (2)
Từ (1) và (2) $\large \Rightarrow  OK\perp (SBC)\Rightarrow  d(O, (SBC))= OK$
Tính được $\large SO= \sqrt{SA^2- \left( \dfrac{2}{3}. AE\right)^2}= \sqrt{\dfrac{21a^2}{36} - \left(\dfrac{2}{3}. \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}= \dfrac{a}{2}$ và $\large OE= \dfrac{1}{3}.AE= \dfrac{1}{3}. \dfrac{a\sqrt{3}}{2}= \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Tam giác vuông SOE có $\large OK= \dfrac{SO.OE}{\sqrt{SO^2+OE^2}}= \dfrac{a}{4}$
Vậy $\large d(A, (SBC))= 3OK= \dfrac{3a}{4}$