Trong không gian với hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$, cho bốn điểm $\Larg

Trong không gian với hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$, cho bốn điểm $\Large A(2;4;-1), B(1;4;-1), C(2;4;3), D(2;2;-1)$. Biết $\Large M(x;y;z)$ để $\Large MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\Large x+y+z$ bằng

• A. $\Large 6$
• B. $\Large \dfrac{21}{4}$
• C. $\Large 8$
• D. $\Large 9$

Xét điểm $\Large I(a;b;c)$ thỏa mãn $\Large \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$. Khi đó $\Large I\left(\dfrac{7}{4};\dfrac{7}{2};0\right)$

Ta có $\Large MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^{2}+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^{2}+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^{2}+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID})^{2}$

$\Large =4MI^{2}+2.\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})+IA^{2}+IB^{2}+IC^{2}+ID^{2}$

$\Large =4MI^{2}+IA^{2}+IB^{2}+IC^{2}+ID^{2}\geq IA^{2}+IB^{2}+IC^{2}+ID^{2}$ ( vì $\Large MI^{2}\geq 0$ với mọi điểm M)

Dấu "=" xảy ra $\Large \Leftrightarrow M\equiv I$ tức là $\Large M\left(\dfrac{7}{4};\dfrac{7}{2};0\right)\Rightarrow x+y+z=\dfrac{7}{4}+\dfrac{7}{2}=\dfrac{21}{4}$