Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho 2 đường thẳng $\Larg

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho 2 đường thẳng $\Larg

4.7/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 18 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho 2 đường thẳng $\Large \Delta_1:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{-3}$, $\Large \Delta_2:\left\{\begin{align}&x=t\\&y=2-t\\&z=1+2t\\\end{align}\right.$ và mặt cầu $\Large (S):x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+2y-6z-5=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\Large (\alpha)$ song song với hai đường thẳng $\Large \Delta_1,\Delta_2$ và cắt mặt cầu $\Large (S)$ theo giao tuyến là đường tròn $\Large (C)$ có chu vi bằng $\Large \dfrac{2\sqrt{365}\pi}{5}$

Đáp án án đúng là: B

Lời giải chi tiết:

+ $\Large \Delta_1$ qua $\Large M_1(2;-1;1)$ và có vecto chỉ phương $\Large \overrightarrow{u_1}=(1;2;-3)$

$\Large \Delta_2$ qua $\Large M_2(0;2;1)$ và có vecto pháp tuyến: $\Large [\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=(-1;-5;-3)$

$\Large \Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $\Large (\alpha)$ có dạng: $\Large x-5y-3z+D=0$

+ Mặt cầu $\Large (S)$ có tâm I(1;-1;3) và bán kính R = 4

Gọi r là bán kính đường tròn $\Large (C),$ ta có: $\Large 2\pi r=\dfrac{2\sqrt{365}\pi}{5}\Rightarrow r = \dfrac{\sqrt{365}}{5}$

Khi đó: $\Large d(I,(\alpha))=\sqrt{R^{2}-r^{2}}\Rightarrow \dfrac{|D-3|}{\sqrt{35}}=\dfrac{\sqrt{35}}{5}\Leftrightarrow$ $\Large \left[\begin{align}&D=-4\\&D=10\\\end{align}\right.$

+ Phương trình mặt phẳng $\Large (\alpha):x-5y-3z-4=0 (1)$ hay $\Large x-5y-3z+10=0(2)$

Vì $\Large \Delta_1 // (\alpha), \Delta_2//(\alpha)$ nên $\Large M_1$ và $\Large M_2$ không thuộc $\Large (\alpha) \Rightarrow $ loại (1)

Vậy phương trình mặt phẳng $\Large (\alpha)$ cần tìm là $\Large x-5y-3z+10=0$