Trong không gian với hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large

Trong không gian với hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large A(1;1;1), B(-2;1;0), C(2;-3;1)$. Điểm $\Large S(a;b;c)$ sao cho $\Large SA^{2}+2SB^{2}+3SC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $\Large T=a+b+c$

• A. $\Large T=\dfrac{1}{2}$
• B. $\Large T=-1$
• C. $\Large T=\dfrac{-1}{3}$
• D. $\Large T=\dfrac{-5}{6}$

Gọi G là điểm sao cho $\Large \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{2};-1;\dfrac{-1}{3}\right)$

$\Large SA^{2}+2SB^{2}+3SC^{2}=\overrightarrow{SA}^{2}+2\overrightarrow{SB}^{2}+3\overrightarrow{SC}^{2}=(\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GA})^{2}+2(\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GB})^{2}+3(\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GC})^{2}$

$\Large =6SG^{2}+GA^{2}+2GB^{2}+3GC^{2}$

$\Large SA^{2}+SB^{2}+SC^{2}$ nhỏ nhất khi $\Large S\equiv G$ hay $\Large S\left(\dfrac{1}{2};-1;\dfrac{-1}{3}\right)$. Nên $\Large T = \dfrac{-5}{6}$