Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm M(1;9;4) và cắt các trục tọa độ tại

Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm M(1;9;4) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) sao cho OA = OB = OC

 

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

Giả sử mặt phẳn $\Large (\alpha)$ cắt các trục tọa độ tại các điểm khác gốc tọa độ là $\Large A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ với $\Large a,b,c\neq 0$

Phương trình mặt phẳng $\Large (\alpha)$ có dạng $\Large \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$

Mặt phẳng $\Large (\alpha)$ đi qua điểm $\Large M(1;9;4)$ nên $\Large \dfrac{1}{a}+\dfrac{9}{b}+\dfrac{4}{c}=1(1)$

Vì $\Large OA = OB = OC$ nên $\Large |a|=|b|=|c|$, do đó xảy ra 4 trường hợp sau:

+) TH1: a = b = c

Từ (1) suy ra $\Large \dfrac{1}{a}+\dfrac{9}{a}+\dfrac{4}{a}=1\Leftrightarrow a=14$, nên phương trình $\Large mp(\alpha)$ là $\Large x+y+z-14=0$

+) TH2: $\Large a=b=-c$. Từ (1) suy ra $\Large \dfrac{1}{a}+\dfrac{9}{a}-\dfrac{4}{a}=1\Leftrightarrow a=6$, nên pt $\Large mp(\alpha)$ là $\Large x+y-z-6=0$

+) TH3: $\Large a=-b=c$. Từ (1) suy ra $\Large \dfrac{1}{a}-\dfrac{9}{a}+\dfrac{4}{a}=1\Leftrightarrow a=-4$, nên pt $\Large mp(\alpha)$ là $\Large x-y+z+4=0$

+) TH4: $\Large a=-b=-c$. Từ (1) suy ra $\Large \dfrac{1}{a}-\dfrac{9}{a}-\dfrac{4}{a}=1\Leftrightarrow a=-12$, nên pt $\Large mp(\alpha)$ là $\Large x-y-z+12=0$

Vậy có 4 mặt phẳng thỏa mãn