Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$ cho đường thẳng $\Large d

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$ cho đường thẳng $\Large d:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{x}{1}$ và mặt phẳng $\Large (P): x+2y-z-3=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Large \Delta$ nằm trong $\Large (P)$ sao cho $\Large \Delta$ vuông góc với d và khoảng cách giữa hai đường thẳng $\Large \Delta$ và d bằng $\Large \sqrt{2}$

• A. $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&\Delta: \dfrac{x-7}{1}=\dfrac{y}{-1}\\&\dfrac{z-4}{-1}\\&\Delta: \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{-1}\\\end{align}\right.$
• B. $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&\Delta: \dfrac{x+7}{1}=\dfrac{y}{1}\\&\dfrac{z-4}{-1}\\&\Delta: \dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-1}\\\end{align}\right.$
• C. $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&\Delta: \dfrac{x-7}{2}=\dfrac{y}{1}\\&\dfrac{z-4}{-1}\\&\Delta: \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{1}\\\end{align}\right.$
• D. $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&\Delta: \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{-y}{-1}\\&\dfrac{z-1}{-1}\\&\Delta: \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{-y}{-1}=\dfrac{z-1}{-1}\\\end{align}\right.$

Đường thẳng d có VTCP $\Large \overrightarrow{u_d}=(2;1;1)$. Mặt phẳng (P) có VTPT $\Large \overrightarrow{n_P}=(1;2;-1)$, ta có $\Large [\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_d}]=(3;-3;-3)$

Vì $\Large \Delta\subset (P), \Delta \perp d\Rightarrow VTPT \overrightarrow{u_\Delta}=\dfrac{1}{3}[\overrightarrow{u_\Delta};\overrightarrow{u_d}]=(0;-1;1)$

Khi đó, phương trình mặt phẳng $\Large (Q): y-z+m=0$

Chọn $\Large A(1;-2;0)\in d$, ta có:

$\Large d(A;(Q))=d(\Delta;d)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{|-2+m|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&m=4\\&m=0\\\end{align}\right.$

Với $\Large m=4\Rightarrow (Q):y-z+4=0$

Vì $\Large \Delta =(P)\cap (Q)\Rightarrow \Delta$ đi qua $\Large B(7;0;4) \Rightarrow \Delta:\dfrac{x-7}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-4}{-1}$

Với $\Large m=0 \Rightarrow (Q): y-z=0$

Vì $\Large \Delta = (P)\cap (Q) \Rightarrow \Delta$ đi qua $\Large C(3;0;0) \Rightarrow \Delta:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{-1}$