Trong không gian $\Large Oxyz$, cho mặt cầu $\Large (S)$ có tâm thuộc

Trong không gian $\Large Oxyz$, cho mặt cầu $\Large (S)$ có tâm thuộc trục $\Large Oz$. Biết mặt phẳng $\Large (Oxy)$ và mặt phẳng $\Large (\alpha): z=2$ lần lượt cắt $\Large (S)$ theo hai đường tròn có bán kính 2 và 4. Phương trình của $\Large (S)$ là

• A. $\Large x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=16$
• B. $\Large x^{2}+y^{2}+(z-4)^{2}=16$
• C. $\Large x^{2}+y^{2}+(z-4)^{2}=20$
• D. $\Large x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=20$

Giả sử mặt cầu $\Large (S)$ có bán kính R và có tâm I(0;0;c) ( vì tâm I thuộc trục Oz)

Ta có: $\Large d(I;(Oxy))=|c|$ và $\Large d(I;(\alpha))=|c-2|$

Vì mặt phẳng $\Large (Oxy)$ cắt $\Large (S)$ theo đường tròn có bán kính bằng 2 nên $\Large R=\sqrt{(d(I;(Oxy)))^{2}+4}=\sqrt{c^{2}+4}$

Vì mặt phẳng $\Large (\alpha):z=2$ cắt $\Large (S)$ theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên $\Large R=\sqrt{(d(I;(\alpha)))^{2}+16}=\sqrt{(x-2)^{2}+16}$

Suy ra: $\Large c^{2}+4=(c-2)^{2}+16\Leftrightarrow 4c=16 \Leftrightarrow c = 4\Rightarrow I(0;0;4)$ và $\Large R = \sqrt{2}$

Vậy phương trình mặt cầu $\Large (S)$ là: $\Large x^{2}+y^{2}+(z-4)^{2}=20$