Trong hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$ cho mặt phẳng $\Large (P):5x-z-4=0$

Trong hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$ cho mặt phẳng $\Large (P):5x-z-4=0$ và hai đường thăng $\Large d_1;d_2$ lần lượt có phương trình $\Large \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{2};\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{1}$. Viết phương trình của mặt phẳng $\Large (Q)//(P)$, theo thứ tự cắt $\Large d_1,d_2$ tại A, B sao cho $\Large AB=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$

• A. $\Large (Q_1):5x-z+\dfrac{-25+\sqrt{331}}{7}=0;(Q_2):5x-z+\dfrac{-25-\sqrt{331}}{7}=0$
• B. $\Large (Q_1):5x-z-2=0;(Q_2):55z+11z+14=0$
• C. $\Large (Q_1):-5x-z-2=0;(Q_2):-55z-11z+14=0$
• D. $\Large (Q_1):5x-z-4=0;(Q_2):55z-11z+7=0$

$\Large d_1:\left\{\begin{align}&x=1+t\\&y=-t\\&z=-1+2t\\\end{align}\right.$; $\Large d_2:\left\{\begin{align}&x=1+2t'\\&y=2+t'\\&z=-1+t'\\\end{align}\right.$; $\Large (Q):5x-z+d=0,d\neq -4$

$\Large (Q)\cap d_1=A\left(\dfrac{-3-d}{3};\dfrac{6+d}{3};\dfrac{-15-2d}{3}\right), (Q)\cap d_2=B\left(\dfrac{-3-2d}{9};\dfrac{12-d}{9};\dfrac{30+5d}{9}\right)$

Suy ra $\Large \overrightarrow{AB}=\left(\dfrac{6+d}{9};\dfrac{-6-4d}{9};\dfrac{30+5d}{9}\right)=\dfrac{1}{9}(6+d;-6-4d;30+5d)$

Do $\Large AB=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}\Rightarrow \dfrac{1}{8}((6+d)^{2}+(-6-4d)^{2}+(30+5d)^{2})$

$\Large =\dfrac{80}{9}\Leftrightarrow 42d^{2}+300d+252=0$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&d=\dfrac{-25+\sqrt{331}}{7}\\&d=\dfrac{-25-\sqrt{331}}{7}\\\end{align}\right.$

Vậy, tìm được hai mặt phẳng thỏa mãn:

$\Large (Q_1):5x-z+\dfrac{-25+\sqrt{331}}{7}=0;(Q_2):5x-z+\dfrac{-25-\sqrt{331}}{7}=0$