Trong không gian với hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large

Trong không gian với hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large M(3;0;0), N(m;n;0), P(0;0;p)$. Biết $\Large MN=\sqrt{13},\widehat{MON}=60^{o}$, thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức $\Large A=m+2n^{2}+p^{2}$ bằng

• A. 29
• B. 27
• C. 28
• D. 30

$\Large \overrightarrow{OM}=(3;0;0), \overrightarrow{ON}=(m,n,0) \Rightarrow \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=3m$

$\Large \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=|\overrightarrow{OM}|.|\overrightarrow{ON}|\cos 60^{o} \Rightarrow \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}}{|\overrightarrow{OM}|.|\overrightarrow{ON}|}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{m}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}=\dfrac{1}{2}$

$\Large MN=\sqrt{(m-3)^{2}+n^{2}}=\sqrt{13}$

Suy ra $\Large m =2, n=\pm 2\sqrt{3}$

$\Large [\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}].\overrightarrow{OP}=6\sqrt{3}p\Rightarrow V = \dfrac{1}{6}|6\sqrt{3}p|=3\Rightarrow p=\pm \sqrt{3}$

Vậy $\Large A=2+2.12+3=29$